磁場がない領域（$x < 0$）：P$(-L, d)$ から $x$ 方向に速さ $v$ で等速直線運動
磁場領域（$x > 0$）に入った瞬間：
$\vec{v} = v\hat{x}$, $\vec{B} = B\hat{z}$ より、$\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B} = qvB(-\hat{y})$（下向き）
円運動の半径：
$$qvB = \frac{mv^2}{R} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{mv}{qB}$$粒子は磁場中で半円を描き（入射方向が $x$ 軸正方向、磁場で下に曲がる）、$y$ 軸上の点 $(0, d - 2R)$ から磁場を出ます。
磁場内の滞在時間：半円分の弧の長さを速さで割って：
$$t_B = \frac{\pi R}{v} = \frac{\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{\pi m}{qB}$$数値例：$m = 6.4 \times 10^{-27}$ kg、$q = 3.2 \times 10^{-19}$ C、$v = 2.0 \times 10^{6}$ m/s、$B = 0.20$ T のとき：
$$R = \frac{6.4 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^{6}}{3.2 \times 10^{-19} \times 0.20} = \frac{1.28 \times 10^{-20}}{6.4 \times 10^{-20}} = 0.20 \text{ m}$$ $$t_B = \frac{\pi \times 6.4 \times 10^{-27}}{3.2 \times 10^{-19} \times 0.20} = \frac{2.01 \times 10^{-26}}{6.4 \times 10^{-20}} = 3.1 \times 10^{-7} \text{ s}$$磁場の境界で粒子の速さは変わらない（ローレンツ力は仕事をしない）。入射角と射出角は等しい（反射の法則と同様）。
幾何学的条件：
粒子は $y$ 軸に角度 $\theta = \pi/3$ で入射します。磁場中で半径 $R$ の円弧を描き、再び $y$ 軸に角度 $\theta$ で出射します。
粒子がPに戻るには、入射点と出射点が $y$ 軸上で対称であり、かつ出射後の直線がPを通る必要があります。
入射点を $(0, y_1)$ とすると：$y_1 = d + L\tan\theta = d + L\sqrt{3}$
磁場中の円弧による $y$ 方向の変位：$\Delta y = 2R\sin\theta \cdot \cos\theta$（= $R\sin 2\theta$... 幾何から）
出射角 = 入射角（鏡面反射と同様）なので、出射点は $(0, y_1 - 2R(1-\cos\theta))$
出射後、角度 $\theta$ で直線を進んでPに戻る条件から：
対称性より、$y$ 軸上の入射点と出射点の中点が $y = d$ であり、軌道全体が $y = d$ に関して鏡像対称：
$R = mv/(qB)$ より：
直線部分（2区間）：
Pから $y$ 軸までの距離は $L/\cos\theta$（斜めに進む）ので、片道の時間は：
往復で $2t_1 = \dfrac{4L}{v}$
磁場中の円弧：
$\theta = \pi/3$ で入射した場合の円弧の角度は $\pi - 2\theta = \pi/3$
全時間：
荷電粒子が磁場の境界に角度 $\theta$ で入射すると、円弧を描いて同じ角度 $\theta$ で射出されます。これは光の反射と似ていますが、「反射面」が磁場の境界であり、「反射」のメカニズムはローレンツ力による円運動です。
磁場中の円弧が占める角度は $\pi - 2\theta$ です（$\theta = 0$ で半円 $\pi$、$\theta \to \pi/2$ で $0$）。
磁場境界問題は「入射角 ＝ 出射角」と「円弧角 $= \pi - 2\theta$」を使って幾何学的に解く。全行程 ＝ 直線区間 + 円弧区間の時間の和。