ローレンツ力と荷電粒子の円運動

(1) ローレンツ力の向き：

$\vec{v} = v\hat{x}$, $\vec{B} = -B\hat{z}$ より $\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B} = qvB(\hat{x} \times (-\hat{z})) = qvB\hat{y}$

→ 初期のローレンツ力は $+y$ 方向（上向き）。

(2) 円運動の半径：

向心力 = ローレンツ力より

$$\frac{mv^2}{r} = qvB \quad \Rightarrow \quad r = \frac{mv}{qB}$$

(3) 円運動の周期：

円周 $2\pi r$ を速さ $v$ で一周する時間：

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$$

（速さ $v$ が消えるため、周期は速さに依存しない）

補足：負電荷の場合

負電荷（電子など）の場合、ローレンツ力の向きが逆になるため、円運動の回転方向が逆（時計回り）になります。半径と周期の式は同じ形で、$q$ を $|q|$ とすれば正電荷の式がそのまま使えます。

補足：磁場に斜めに入射する場合

磁場に対して角度を持って入射する場合、磁場に垂直な速度成分で円運動、平行な成分は等速直線運動を行います。結果として粒子はらせん運動をします。

具体的な数値計算

陽子（\(m = 1.67 \times 10^{-27}\) kg, \(q = 1.6 \times 10^{-19}\) C）が \(v = 3.0 \times 10^6\) m/s で \(B = 0.50\) T の磁場に垂直に入射する場合を考えます。

ローレンツ力：

$$F = qvB = 1.6 \times 10^{-19} \times 3.0 \times 10^6 \times 0.50 = 2.4 \times 10^{-13} \text{ N}$$

円運動の半径：\(qvB = mv^2/R\) より

$$R = \frac{mv}{qB} = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 3.0 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.50} \fallingdotseq 6.3 \times 10^{-2} \text{ m}$$

周期：

$$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi \times 6.3 \times 10^{-2}}{3.0 \times 10^6} \fallingdotseq 1.3 \times 10^{-7} \text{ s}$$

周期 \(T = 2\pi m/(qB)\) は速さに依存しません。速さが 2 倍でも半径が 2 倍になるので、一周の時間は変わらないのです（サイクロトロン共鳴の基礎）。