設問(1)(2)　ローレンツ力と円運動

(1) 磁場の向きと $B$：

adに垂直に入射した陽子がa点を中心とする円弧を描いてab辺から飛び出すことから、ローレンツ力は紙面上で上向き。フレミングの左手の法則より、磁場は紙面の表から裏の向き。

等速円運動の運動方程式（ローレンツ力 ＝ 向心力）：

$$evB = \frac{mv^2}{r}$$

$v$ で両辺を割ると：

$$eB = \frac{mv}{r} \quad \Rightarrow \quad B = \frac{mv}{er}$$

(2) 飛び出すまでの時間：

磁場内の円弧は円の $\dfrac{1}{4}$（$90°$）なので、周期 $T$ の $\dfrac{1}{4}$ にあたります。

$$T = \frac{2\pi r}{v} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi r}{4v} = \frac{\pi r}{2v}$$

補足：周期が速さに依存しない理由

$T = \dfrac{2\pi m}{qB}$ は速さ$v$を含まない。速い粒子は半径が大きいが、その分一周の距離も長いので、周期は同じになります。これがサイクロトロンの原理に利用されています。

具体的な数値計算

電子（\(m_e = 9.1 \times 10^{-31}\) kg, \(e = 1.6 \times 10^{-19}\) C）が \(v = 2.0 \times 10^6\) m/s の速さで \(B = 1.0 \times 10^{-3}\) T の磁場中に垂直入射したとします。

(1) ローレンツ力：

$$f = evB = 1.6 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^6 \times 1.0 \times 10^{-3} = 3.2 \times 10^{-16} \text{ N}$$

(2) 円運動の半径：ローレンツ力 = 向心力より \(evB = m_e v^2 / r\)：

$$r = \frac{m_e v}{eB} = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 2.0 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{-3}} \fallingdotseq 1.14 \times 10^{-2} \text{ m}$$

(3) 周期と角速度：

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \times 1.14 \times 10^{-2}}{2.0 \times 10^6} \fallingdotseq 3.6 \times 10^{-8} \text{ s}$$ $$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{eB}{m_e} \fallingdotseq 1.76 \times 10^{8} \text{ rad/s}$$

角速度は速さに依存せず、磁束密度と比電荷 \(e/m_e\) だけで決まります。