斜面上の導体棒の運動

直感的理解

斜面を下る導体棒にも「電磁ブレーキ」が働きます。重力の斜面方向成分 $mg\sin\theta$ が棒を加速し、誘導電流による力が減速させます。速度が上がるほどブレーキ力が強くなり、やがて加速度がゼロ → 終端速度に達します。磁場が鉛直なので、起電力には $\cos\theta$ がかかる点に注意です。

(1) 棒を流れる電流 $I$

棒が速さ $v_0$ で斜面を下るとき、磁束の変化に寄与する速度成分は $v_0\cos\theta$ なので、誘導起電力は：

$$V = v_0 Bl\cos\theta$$

回路の抵抗が $R$ なので電流は：

$$I = \frac{V}{R} = \frac{v_0 Bl\cos\theta}{R}$$

(2) 力のつり合い（終端速度の条件）

棒に働く力の斜面方向のつり合い（重力の斜面成分＝電磁ブレーキ力の斜面成分）：

$$mg\sin\theta = BIl\cos\theta = \frac{v_0 B^2 l^2 \cos^2\theta}{R}$$

(3) 単位時間あたりのジュール熱 $Q$

終端速度で等速なので、重力の仕事率がすべてジュール熱に変換：

$$Q = I^2 R = \frac{v_0^2 B^2 l^2 \cos^2\theta}{R} = mg v_0 \sin\theta$$

(4) ジュール熱の供給源

ジュール熱は棒の重力による位置エネルギーから供給されます。終端速度では運動エネルギーが一定なので、重力がする仕事がすべてジュール熱に変わります。

(5) 磁場の向きが鉛直下向きの場合

(1)〜(4) の結果は $B$ の向きによらず変わりません。$\cos\theta$ の因子は同じで、誘導電流の向きが逆になるだけです。

答え：
(1) $I = \dfrac{v_0 Bl\cos\theta}{R}$
(2) $F = \dfrac{v_0 B^2 l^2 \cos^2\theta}{R}$
(3) $Q = \dfrac{v_0^2 B^2 l^2 \cos^2\theta}{R}$
(4) 重力による位置エネルギー
(5) (1)〜(4) の結果は変わらない

補足：なぜ $\cos\theta$ がかかるのか

磁場が鉛直上向きで斜面が角 $\theta$ の場合、回路の面積変化に寄与するのは棒の水平方向の移動成分 $v\cos\theta$ です。

もし磁場が斜面に垂直であれば、$V = vBl$（$\cos\theta$ なし）になります。磁場の方向と面積変化の方向の関係を常に意識しましょう。

Point

磁場が斜面に垂直でないとき、起電力は $V = vBl\cos\theta$（磁場と面積変化の射影）。終端速度は $mg\sin\theta = \dfrac{v_0 B^2 l^2 \cos^2\theta}{R}$ から求める。

🧮 数値計算で確認

$q = 3.0 \times 10^{-6}$ C の点電荷から $r = 0.30$ m の位置：