回転する導体棒の起電力

直感的理解

回転する導体棒は、時間 $\Delta t$ の間におうぎ形の面積を横切ります。この面積の変化率が一定なので、誘導起電力も一定（直流）になります。棒が1回転する間に横切る面積は円の面積 $\pi r^2$ ではなく、面積変化率 $\dfrac{1}{2}l^2\omega$ に注目してください。

(1) $\Delta t$ の間に横切る面積

おうぎ形の面積（半径 $l$、中心角 $\omega\Delta t$）：

$$\Delta S = \frac{1}{2}l^2 \cdot \omega\Delta t$$

(2) OA 間の誘導起電力

ファラデーの法則より：

$$V = \frac{B \cdot \Delta S}{\Delta t} = B \cdot \frac{1}{2}l^2 \omega = \frac{1}{2}B\omega l^2$$

(3) 抵抗に流れる電流の大きさと向き

$$I = \frac{V}{R} = \frac{B\omega l^2}{2R}$$

電流の向きは図の (1) の向き（レンツの法則から決定）。

(4) 単位時間あたりの抵抗でのジュール熱

$$P = I^2 R = \left(\frac{B\omega l^2}{2R}\right)^2 R = \frac{B^2\omega^2 l^4}{4R}$$

(5) 導体棒を角速度 $\omega$ で回転させるための仕事率

定常状態では外力の仕事率＝ジュール熱の発生率：

$$W = P = \frac{B^2\omega^2 l^4}{4R}$$

答え：
(1) $\Delta S = \dfrac{1}{2}l^2\omega\Delta t$
(2) $V = \dfrac{1}{2}B\omega l^2$
(3) $I = \dfrac{B\omega l^2}{2R}$、(1) の向き
(4) $P = \dfrac{B^2\omega^2 l^4}{4R}$
(5) $W = \dfrac{B^2\omega^2 l^4}{4R}$

別解：ローレンツ力による導出

棒上の微小部分（O からの距離 $r$）の速度は $v = r\omega$ で、この部分に生じる起電力は $dV = Bv\,dr = Br\omega\,dr$。

棒全体の起電力は積分で：

$$V = \int_0^l Br\omega\,dr = \frac{1}{2}B\omega l^2$$

この方法は「ファラデーのパラドックス」の解決にも使われます。

Point