ベータトロンの原理

(1) 運動量 $P$

円運動の条件（ローレンツ力 ＝ 向心力）：

$$evB = \frac{mv^2}{R} \quad \Rightarrow \quad mv = eBR \quad \Rightarrow \quad P = eBR$$

(2) 円周上の誘導電場の大きさ

ファラデーの法則の積分形 $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\dfrac{d\Phi}{dt}$ を半径 $R$ の円に適用：

$$2\pi R \cdot E = \frac{d\Phi}{dt} \quad \Rightarrow \quad E = \frac{1}{2\pi R}\frac{d\Phi}{dt}$$

(3) $\Delta t$ の間の運動量変化

誘導電場が電子に与える力 $F = eE$ による運動量変化：

$$\Delta P = eE \cdot \Delta t = \frac{e}{2\pi R} \cdot \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \cdot \Delta t = \frac{e}{2\pi R}\Delta\Phi$$

(4) ベータトロン条件

半径 $R$ を一定に保つには (1) より $\Delta P = eR\Delta B$（円周上の磁場の変化）。

一方 (3) より $\Delta P = \dfrac{e}{2\pi R}\Delta\Phi$。円内部の平均磁束密度を $\bar{B}$ とすると $\Phi = \pi R^2 \bar{B}$ なので：

$$\Delta P = \frac{e}{2\pi R} \cdot \pi R^2 \Delta\bar{B} = \frac{eR}{2}\Delta\bar{B}$$

両者が等しい条件：

$$eR\Delta B = \frac{eR}{2}\Delta\bar{B} \quad \Rightarrow \quad \Delta\bar{B} = 2\Delta B$$

補足：ベータトロンの実用

ベータトロンは1940年代に開発された電子加速器です。電子を数十 MeV まで加速でき、X線の生成などに利用されました。

ベータトロン条件 $\bar{B} = 2B$ は、磁場の空間分布を適切に設計することで実現されます。円の中心付近の磁場を円周付近の2倍にすればよいのです。

現在ではシンクロトロンなどのより高性能な加速器に置き換えられていますが、電磁誘導と円運動の応用例として重要です。

🧮 数値計算で確認

\(q = 3.0 \times 10^{-6}\) C の点電荷から \(r = 0.30\) m の位置：

$$E = k\frac{q}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-6}}{0.09} = 3.0 \times 10^5 \text{ N/C}$$ $$V = k\frac{q}{r} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-6}}{0.30} = 9.0 \times 10^4 \text{ V}$$