基本問題446 ローレンツ力と誘導起電力

ローレンツ力による誘導起電力の導出

直感的理解
導体棒が磁場中を動くと、棒の中の自由電子も一緒に動きます。運動する電荷は磁場からローレンツ力 $F = qvB$ を受けるため、電子が棒の一端に偏り、電位差(誘導起電力)が生じます。棒が長いほど、速いほど、磁場が強いほど起電力は大きくなります。

設定:磁束密度 $B$(紙面裏向き)の一様磁場中で、長さ $l$ の導体棒 PQ が速度 $v$ で右向きに移動。

(1) 正電荷が受けるローレンツ力の向き:

$\vec{v}$ が右向き、$\vec{B}$ が紙面裏向き(奥向き)のとき、フレミング左手の法則より、正電荷に働く力は P の向き(上向き)です。

(2) 正電荷が蓄積する端:

ローレンツ力で正電荷は P 側に、負電荷(電子)は Q 側に移動するので、P 端が正に帯電します。

(3) 誘導起電力の大きさ:

電荷が移動して電場 $E$ が生じ、電気力とローレンツ力がつり合うと定常状態になります:

$$qE = qvB \quad \Rightarrow \quad E = vB$$

棒の長さ $l$ にわたる電位差が誘導起電力:

$$V = El = vBl$$
答え:
(1) ローレンツ力の向き:Q → P の向き(上向き)
(2) 正の電荷が蓄積:P 端
(3) 誘導起電力:$V = vBl$
別解:ファラデーの法則からの導出

時間 $\Delta t$ の間に棒が $v \Delta t$ だけ移動すると、回路の面積は $\Delta S = l \cdot v \Delta t$ だけ変化します。

$$|V| = \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right| = \frac{B \cdot \Delta S}{\Delta t} = \frac{B \cdot l \cdot v \Delta t}{\Delta t} = vBl$$

ファラデーの法則とローレンツ力のアプローチは同じ結果を与えます。

Point

磁場中を運動する導体棒の誘導起電力は $V = vBl$。ローレンツ力 $F = qvB$ が電荷を分離し、電位差を生みます。正電荷の移動方向が起電力の正極になります。

🧮 具体的な数値例

たとえば \(B = 0.50\) T の磁場中で、長さ \(l = 0.20\) m の導体が \(v = 3.0\) m/s で動く場合:

$$\mathcal{E} = Blv = 0.50 \times 0.20 \times 3.0 = 0.30 \text{ V}$$ $$R = 2.0 \text{ Ω のとき } I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{0.30}{2.0} = 0.15 \text{ A}$$