磁場中の導体棒の終端速度

設定：磁束密度 $B$ の一様磁場中で、間隔 $l$ のレール上を導体棒 PQ が抵抗 $R$ とつながった回路内で運動する。外力 $F$ で棒を押し続ける。

(1) 誘導起電力と誘導電流：

速さ $v$ で運動する導体棒が磁場を横切ることで生じる誘導起電力は

$$V = vBl$$

回路の抵抗が $R$ なので、オームの法則より誘導電流は

$$I = \frac{V}{R} = \frac{vBl}{R}$$

(2) 導体棒に働く制動力：

電流 $I$ が流れる長さ $l$ の導体棒が磁束密度 $B$ の磁場中で受ける力（フレミングの左手の法則）は

$$F_{\text{brake}} = BIl = B \cdot \frac{vBl}{R} \cdot l = \frac{B^2 l^2 v}{R}$$

この力は運動方向と逆向きに働く制動力（ブレーキ力）です。

(3) 終端速度の条件（加速度 = 0）：

加速度がゼロになる条件は、外力 $F$ と制動力が釣り合うことです：

$$F = F_{\text{brake}} = \frac{B^2 l^2 v_0}{R}$$

$v_0$ について解くと、終端速度は

$$v_0 = \frac{FR}{B^2 l^2}$$

補足：終端速度でのエネルギー収支

終端速度 $v_0$ で運動するとき、外力がする仕事率と抵抗で消費される電力が等しくなります：

$$P_{\text{ext}} = Fv_0 = \frac{V^2}{R} = \frac{(v_0 Bl)^2}{R} = P_R$$

エネルギー保存則からも終端速度を導けます。