自己誘導と RL 回路

設定：自己インダクタンス $L$ のコイル、抵抗 $R$、起電力 $E$ の直流電源からなる回路。スイッチ S を閉じた直後の自己誘導起電力を考える。

自己誘導起電力の公式：

$$V_L = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}$$

コイルは電流の変化を妨げる向きに起電力を発生させます。

(1) スイッチを閉じた直後：

電流が $0$ から増加し始める。キルヒホッフの第二法則より回路方程式は：

$$E = L\frac{\Delta I}{\Delta t} + RI$$

$t = 0$ では $I = 0$ なので：

$$E = L\frac{\Delta I}{\Delta t} \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta I}{\Delta t} = \frac{E}{L}$$

数値例：$E = 10$ V、$L = 0.50$ H のとき：

$$\frac{\Delta I}{\Delta t} = \frac{10}{0.50} = 20 \text{ A/s}$$

(2) 十分時間が経ったとき（定常状態）：

定常状態では電流が一定になるため $\dfrac{\Delta I}{\Delta t} = 0$。回路方程式より：

$$E = RI \quad \Rightarrow \quad I = \frac{E}{R}$$

数値例：$E = 10$ V、$R = 5.0$ $\Omega$ のとき：

$$I = \frac{10}{5.0} = 2.0 \text{ A}$$

(3) コイルの自己誘導起電力の大きさ：

自己誘導起電力の大きさは、任意の時刻で次式で与えられる：

$$|V_L| = L\left|\frac{\Delta I}{\Delta t}\right|$$

スイッチ直後では $|V_L| = L \cdot \dfrac{E}{L} = E$（電源の起電力と等しい）。定常状態では $|V_L| = 0$。

数値例：$L = 0.50$ H、$\Delta I / \Delta t = 20$ A/s のとき：

$$|V_L| = 0.50 \times 20 = 10 \text{ V} = E$$

補足：RL回路の過渡応答

RL 回路の電流は指数関数的に定常値に近づきます：

$$I(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-Rt/L}\right)$$

時定数 $\tau = L/R$ で、$t = \tau$ のとき電流は定常値の約 63% に達します。