自己誘導と RL 回路の過渡応答

設定：自己インダクタンス $L$ のコイル、内部抵抗無視、抵抗 $R$、起電力 $E$ の電池をつないだ RL 回路。スイッチ S を閉じた後の電流と自己誘導起電力の変化を求める。

(1) スイッチを閉じた直後（$t = 0$）：

キルヒホッフの第二法則より回路方程式は：

$$E = L\frac{dI}{dt} + RI$$

$t = 0$ では $I = 0$（コイルは電流の急変を許さない）なので：

$$E = L\frac{dI}{dt}\bigg|_{t=0} \quad \Rightarrow \quad \frac{dI}{dt}\bigg|_{t=0} = \frac{E}{L}$$

数値例：$E = 10$ V、$L = 0.20$ H、$R = 10$ $\Omega$ のとき：

$$\frac{dI}{dt}\bigg|_{t=0} = \frac{10}{0.20} = 50 \text{ A/s}$$

このとき自己誘導起電力は $V_L = E = 10$ V（電源の起電力と等しく、すべての電圧がコイルにかかる）。

(2) 十分時間が経ったとき（$t \to \infty$）：

定常状態では $\dfrac{dI}{dt} = 0$ なので、コイルの自己誘導起電力はゼロとなり、コイルは単なる導線として振る舞う：

$$E = RI \quad \Rightarrow \quad I = \frac{E}{R} = \frac{10}{10} = 1.0 \text{ A}, \quad V_L = 0$$

(3) 一般解：

回路方程式 $E = L\dfrac{dI}{dt} + RI$ を初期条件 $I(0) = 0$ で解くと：

$$I(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-Rt/L}\right)$$

時定数：

$$\tau = \frac{L}{R} = \frac{0.20}{10} = 0.020 \text{ s} = 20 \text{ ms}$$

$t = \tau = 20$ ms で定常値の約 63%、$t = 3\tau = 60$ ms で約 95% に到達する。

$t = \tau$ のときの電流：

$$I(\tau) = \frac{10}{10}\left(1 - e^{-1}\right) = 1.0 \times 0.632 = 0.63 \text{ A}$$

自己誘導起電力は：

$$V_L(t) = L\frac{dI}{dt} = E\,e^{-t/\tau}$$

$t = \tau$ のとき $V_L = 10 \times e^{-1} = 10 \times 0.368 = 3.7$ V。

補足：スイッチを切った瞬間

定常電流 $I_0 = E/R$ が流れている状態でスイッチを切ると、コイルは電流を流し続けようとして大きな逆起電力を発生します。これが蛍光灯の点灯や自動車のイグニッションコイルの原理です。理論的には：

$$V_L = -L\frac{dI}{dt}$$

$dI/dt$ が非常に大きくなるため、$V_L$ は電源電圧 $E$ よりもはるかに大きくなりえます。