相互誘導と相互インダクタンス

設定：一次コイル（巻数 $N_1$）と二次コイル（巻数 $N_2$）が鉄心で結合している。一次コイルの電流 $I_1$ が変化するとき、二次コイルに生じる誘導起電力を求める。

相互誘導起電力の公式：一次コイルの電流変化 $\Delta I_1 / \Delta t$ に対し、二次コイルに生じる起電力は

$$V_2 = -M \frac{\Delta I_1}{\Delta t}$$

ここで $M$ は相互インダクタンス（単位：H = V·s/A）。

(1) 相互インダクタンスの意味：

$M$ は一次コイルの電流が単位時間に 1 A 変化したとき、二次コイルに生じる起電力（の大きさ）を表します。

(2) 具体的な計算例：$M = 0.30$ H のとき、$\Delta I_1 / \Delta t = 5.0$ A/s なら

$$|V_2| = M \frac{\Delta I_1}{\Delta t} = 0.30 \times 5.0 = 1.5 \text{ V}$$

(3) 磁束を用いた表現：一次コイルの電流 $I_1$ が二次コイルに作る磁束を $\Phi_{12}$ とすると、ファラデーの法則より

$$V_2 = -N_2 \frac{\Delta \Phi_{12}}{\Delta t}$$

ここで $\Phi_{12}$ は一次コイルが作る磁束のうち二次コイル1巻を貫くもの。$\Phi_{12} \propto I_1$ なので $M = N_2 \Phi_{12} / I_1$ と定義でき、

$$V_2 = -M \frac{\Delta I_1}{\Delta t} = -\frac{N_2 \Phi_{12}}{I_1} \cdot \frac{\Delta I_1}{\Delta t}$$

補足：自己インダクタンスとの関係

二つのコイルの自己インダクタンスを $L_1$, $L_2$ とすると、相互インダクタンス $M$ には次の上限があります：

$$M \leq \sqrt{L_1 L_2}$$

等号は磁束がすべて両方のコイルを貫く（結合係数 $k = 1$）ときに成立します。一般に $M = k\sqrt{L_1 L_2}$（$0 \leq k \leq 1$）。

補足：変圧器との関係

理想変圧器では $k = 1$ で、一次電圧 $V_1$ と二次電圧 $V_2$ の比は巻数比に等しくなります：

$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1}$$

これは相互誘導の直接的な応用です。