応用問題471 R, L, C 直列の交流回路

RLC 直列回路のインピーダンス

直感的理解
RLC 直列回路では、R の電圧は電流と同位相、L の電圧は $\pi/2$ 進み、C の電圧は $\pi/2$ 遅れます。これらをベクトル（フェーザー）として合成すると、全体の電圧と電流の位相差 $\phi$ とインピーダンス $Z$ が求まります。スライダーで $\omega$ を変えると、共振（$\phi = 0$, $Z$ 最小）の条件を見つけられます。

(1) 電流の実効値 $I_e$

インピーダンス $Z$ を求めてからオームの法則を使います：

$$Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$$ $$I_e = \frac{V_e}{Z} = \frac{V_e}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}}$$

(2) $V_R$, $V_L$, $V_C$ を時刻 $t$ の関数で表す

$I = I_0\sin\omega t$ とすると、各素子の電圧は：

$$V_R = RI_0\sin\omega t \quad \text{（電流と同位相）}$$ $$V_L = \omega L \cdot I_0\sin\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = \omega L \cdot I_0\cos\omega t \quad \text{（$\pi/2$ 進み）}$$ $$V_C = \frac{I_0}{\omega C}\sin\!\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{I_0}{\omega C}\cos\omega t \quad \text{（$\pi/2$ 遅れ）}$$

(3) $V$ の最大値 $V_0$ と実効値 $V_e$

$V_R$ と $(V_L - V_C)$ は直交するので、合成電圧の最大値は：

$$V_0 = \sqrt{(RI_0)^2 + \left(\omega L \cdot I_0 - \frac{I_0}{\omega C}\right)^2} = I_0\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}$$

実効値は $V_e = \dfrac{V_0}{\sqrt{2}} = I_e Z$ です。

(4) 共振

$\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$ のとき $Z = R$（最小）→ 電流が最大。共振条件を解くと：

$$\omega^2 = \frac{1}{LC} \quad \Longrightarrow \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad \Longrightarrow \quad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$
答え：
(1) $I_e = \dfrac{V_e}{\sqrt{R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2}}$
(2) 上記の各式
(3) $V_0 = I_0\sqrt{R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2}$
(4) 共振周波数 $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
補足：共振時の各素子の電圧

共振時（$\omega L = 1/\omega C$）：

  • $V_L = V_C$（大きさが等しく、位相が逆で打ち消し合う）
  • $V_R = V$（電源電圧のすべてが抵抗にかかる）
  • $Q$ 値が高いと $V_L, V_C \gg V$ となりうる（電圧の増幅効果）
Point

RLC 直列回路：$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$、位相差 $\tan\phi = (X_L - X_C)/R$。共振で $Z = R$（最小）、$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$。