RLC 並列回路の電流

(1) 各電流を時刻 $t$ の関数で

電源電圧 $V = V_0\sin\omega t$ に対して、各素子の電流は：

$$I_R = \frac{V}{R} = \frac{V_0}{R}\sin\omega t$$ $$I_L = \frac{V_0}{\omega L}\sin\!\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{V_0}{\omega L}\cos\omega t \quad \text{（$\pi/2$ 遅れ）}$$ $$I_C = \omega C \cdot V_0\sin\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = \omega C V_0\cos\omega t \quad \text{（$\pi/2$ 進み）}$$

(2) 合計電流 $I$

$I = I_R + I_L + I_C$ を整理すると：

$$I = \frac{V_0}{R}\sin\omega t + \left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)V_0\cos\omega t$$

合成公式 $A\sin x + B\cos x = \sqrt{A^2 + B^2}\sin(x + \alpha)$ より：

$$I_0 = V_0\sqrt{\frac{1}{R^2} + \left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2}$$

位相角は $\tan\beta = \dfrac{\omega C - 1/(\omega L)}{1/R}$ です。

(3) $\omega$ を変えて $I_0$ が最小になる条件

$\omega C = \dfrac{1}{\omega L}$ のとき $I_L$ と $I_C$ が打ち消し合い、根号内が最小になります：

$$\omega_0 C = \frac{1}{\omega_0 L} \quad \Longrightarrow \quad \omega_0^2 = \frac{1}{LC} \quad \Longrightarrow \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

このとき $I_0 = V_0 \cdot \dfrac{1}{R} = \dfrac{V_0}{R}$（最小）。

補足：直列共振 vs 並列共振

	直列共振	並列共振
共振条件	$\omega L = 1/\omega C$	$\omega C = 1/\omega L$
共振周波数	$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$（同じ）
Z	最小 ($= R$)	最大
電流	最大	最小 ($= V/R$)

🧮 数値計算で確認

\(B = 0.40\) T の磁場中を速さ \(v = 5.0\) m/s で移動する長さ \(l = 0.30\) m の導体棒：

$$\mathcal{E} = Blv = 0.40 \times 0.30 \times 5.0 = 0.60 \text{ V}$$ $$R = 3.0 \text{ Ω のとき } I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{0.60}{3.0} = 0.20 \text{ A}$$ $$F = BIl = 0.40 \times 0.20 \times 0.30 = 0.024 \text{ N}$$