LC 回路の電気振動

直感的理解

電気振動はばね振動のアナロジーです。コンデンサーの電荷 $Q$ は変位 $x$、電流 $I$ は速度 $v$、$C$ はばね定数の逆数 $1/k$、$L$ は質量 $m$ に対応します。エネルギーが静電エネルギーと磁気エネルギーの間で往復するのは、位置エネルギーと運動エネルギーの間の往復と同じです。

(1) 充電後の電荷とエネルギー

起電力 $V$ の直流電源で充電すると、コンデンサーの電荷と静電エネルギーは：

$$Q_0 = CV$$ $$U_C = \frac{1}{2}CV^2$$

(2) スイッチ切替 → LC 振動

エネルギー保存より、静電エネルギーがすべて磁気エネルギーに変換されたとき電流が最大：

$$\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}LI_0^2$$

$I_0$ について解くと：

$$I_0 = V\sqrt{\frac{C}{L}}$$

(3) 振動電流の周期

LC 回路の固有角周波数は $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ なので：

$$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{LC}$$

(4) 周期の2分の1後の状態

$t = T/2$ のとき、$Q = Q_0\cos(\omega_0 \cdot T/2) = Q_0\cos\pi = -Q_0$ です。

コンデンサーの電荷は初めと逆向きに最大（$Q = -Q_0$）。電流は $I = -I_0\sin\pi = 0$。

(5) 振動電流がゼロになる時刻

電流 $I = -I_0\sin\omega_0 t$ が最初にゼロに戻るのは $\omega_0 t = \pi$、すなわち $t = T/2$ ですが、最大値に達した直後に初めてゼロになるのは $t = T/4$（$I_0\sin(\pi/2) \to 0$ への折り返し）後に再び $R_1$ に切り替え可能です。

答え：
(1) $Q_0 = CV$, $U_C = \frac{1}{2}CV^2$
(2) $I_0 = V\sqrt{C/L}$
(3) $T = 2\pi\sqrt{LC}$
(4) 電荷: $-Q_0$（逆極性）、電流: $0$
(5) $T/4$ 後

補足：LC 振動と力学振動の対応表

電気振動	力学振動（ばね）
電荷 $Q$	変位 $x$
電流 $I = dQ/dt$	速度 $v = dx/dt$
インダクタンス $L$	質量 $m$
$1/C$	ばね定数 $k$
$\frac{1}{2}LI^2$（磁気エネルギー）	$\frac{1}{2}mv^2$（運動エネルギー）
$\frac{Q^2}{2C}$（静電エネルギー）	$\frac{1}{2}kx^2$（弾性エネルギー）
$T = 2\pi\sqrt{LC}$	$T = 2\pi\sqrt{m/k}$

Point

LC 回路の電気振動: $T = 2\pi\sqrt{LC}$、$I_0 = V\sqrt{C/L}$。エネルギー保存 $\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}LI_0^2$。力学振動との対応で理解を深めよう。

🧮 数値計算で確認

$q = 3.0 \times 10^{-6}$ C の点電荷から $r = 0.30$ m の位置：