電気振動と力学振動の対応

空欄の対応：

（ア）固有周波数 $f_1$ は $\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$

（イ）回路の固有周波数 $f_0$ は $\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

ばねの場合 $m$ が大きいほどゆっくり振動し、$L$ が大きいほど回路もゆっくり振動します。$k$ が大きいほど速く振動し、$1/C$（$C$ が小さいほど）も同様です。

（ウ）$m$ → $L$ に対応

（エ）$L$ が大きいと電流が流れにくい → 振動がゆっくり

（オ）$k$ → $1/C$

（カ）弾性エネルギー $\frac{1}{2}kx^2$ → 静電エネルギー $\frac{Q^2}{2C}$

（キ）$Q$ → $x$ に対応

（ク）$I = dQ/dt$ → $v = dx/dt$

（ケ）運動エネルギー $\frac{1}{2}mv^2$ → 磁気エネルギー $\frac{1}{2}LI^2$

（コ）$v$ → $I$

（サ）$\frac{1}{2}LI^2$ → $\frac{1}{2}mv^2$

補足：微分方程式の対応

力学: $m\dfrac{d^2x}{dt^2} = -kx$ → $x = A\cos(\omega t + \phi)$, $\omega = \sqrt{k/m}$

電気: $L\dfrac{d^2Q}{dt^2} = -\dfrac{Q}{C}$ → $Q = Q_0\cos(\omega t + \phi)$, $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

形が完全に一致しており、$m \to L$, $k \to 1/C$, $x \to Q$ の置換で互いに変換できます。

具体的な数値での対応の確認

$L = 2.0 \times 10^{-3}$ H, $C = 5.0 \times 10^{-6}$ F の LC 回路の固有振動数は

$$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2.0\times10^{-3} \times 5.0\times10^{-6}}} \fallingdotseq 1.6 \times 10^{3} \text{ Hz}$$

一方、$m = 0.20$ kg のおもりをばね定数 $k = 20$ N/m のばねに吊るした単振動の振動数は

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{20}{0.20}} \fallingdotseq 1.6 \text{ Hz}$$

コンデンサーに $Q = 1.0 \times 10^{-5}$ C の電荷が溜まっているときの静電エネルギーは

$$U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(1.0\times10^{-5})^2}{2 \times 5.0\times10^{-6}} = 1.0 \times 10^{-5} \text{ J}$$

このエネルギーが $\frac{1}{2}LI^2$ の形でコイルの磁気エネルギーに変換され、振動が続きます。