交流の実効値と最大値の関係

条件：周波数 $f = 50$ Hz、電圧の実効値 $V_e = 100$ V の交流電源に $R = 100\;\Omega$ の抵抗を接続。

(1) 抵抗を流れる交流電流の実効値

オームの法則は実効値同士で成り立つので：

$$I_e = \frac{V_e}{R} = \frac{100}{100} = 1.0 \text{ A}$$

(2) 交流電流の最大値

正弦波交流では実効値と最大値の間に $I_e = I_0 / \sqrt{2}$ の関係があるので：

$$I_0 = \sqrt{2}\,I_e = \sqrt{2} \times 1.0 = \sqrt{2} \fallingdotseq 1.4 \text{ A}$$

(3) 抵抗を流れる交流電流の最大値（別表現）

電圧の最大値 $V_0$ から求めることもできます。まず：

$$V_0 = \sqrt{2}\,V_e = \sqrt{2} \times 100 = 100\sqrt{2} \text{ V}$$

オームの法則を最大値同士で適用すると：

$$I_0 = \frac{V_0}{R} = \frac{100\sqrt{2}}{100} = \sqrt{2} \fallingdotseq 1.4 \text{ A}$$

補足：実効値の導出

交流電流 $i = I_0 \sin\omega t$ の実効値は、1周期にわたる $i^2$ の平均の平方根（RMS: Root Mean Square）として定義されます：

$$I_e = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T I_0^2 \sin^2\omega t\,dt} = \sqrt{\frac{I_0^2}{2}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$$

ここで $\sin^2\omega t$ の1周期平均が $\dfrac{1}{2}$ であることを用いました。