コイルの回転と交流起電力

条件：磁束密度 $B$ [T] の一様な磁場中で、面積 $S$ [m$^2$]、$N$ 回巻のコイルを角速度 $\omega$ [rad/s] で回転。

穴埋めの解答

コイルを貫く磁束は、法線と磁場のなす角 $\theta = \omega t$ として：

$$\Phi = NBS\cos\omega t$$

誘導起電力は $V = -\dfrac{d\Phi}{dt}$ より：

$$V = -\frac{d}{dt}(NBS\cos\omega t) = NBS\omega\sin\omega t$$

ここで起電力の最大値は：

$$V_0 = NBS\omega$$

したがって起電力は：

$$V = V_0\sin\omega t$$

磁束が最大に変化する瞬間（コイル面が磁場に平行）で $V = V_0$（最大値）、磁束変化がゼロの瞬間（コイル面が磁場に垂直）で $V = 0$ です。

周期 $T$ と周波数 $f$ の関係：

$$T = \frac{2\pi}{\omega}, \quad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$$

周波数 $f$ [Hz] で回転すると角速度は：

$$\omega = 2\pi f$$

補足：v-t グラフと磁束のグラフの関係

磁束 $\Phi = NBS\cos\omega t$ は余弦関数で時間変化します。その時間微分（の符号反転）が起電力 $V = NBS\omega\sin\omega t$ です。

つまり、磁束が最大（コイル面⊥磁場）のとき起電力は0、磁束が0を横切る（コイル面∥磁場）とき起電力が最大になります。

🧮 数値計算で確認

\(q = 3.0 \times 10^{-6}\) C の点電荷から \(r = 0.30\) m の位置：

$$E = k\frac{q}{r^2} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-6}}{0.09} = 3.0 \times 10^5 \text{ N/C}$$ $$V = k\frac{q}{r} = 9.0 \times 10^9 \times \frac{3.0 \times 10^{-6}}{0.30} = 9.0 \times 10^4 \text{ V}$$