基本問題465 交流回路

RLC直列回路の電圧と位相

直感的理解
RLC直列回路では、抵抗の電圧は電流と同位相、コイルの電圧は $\pi/2$ 進み、コンデンサーの電圧は $\pi/2$ 遅れます。合成電圧はフェーザ図（ベクトル図）で求めます。$V_L$ と $V_C$ は逆位相なので差をとり、$V_R$ と直交する成分として合成します。

条件：抵抗 $R$、コイル（リアクタンス $X_L$）、コンデンサー（リアクタンス $X_C$）の直列回路に交流電圧を加える。

(1) 抵抗に流れる電流（瞬時値）および電力（瞬時値）

電流を $I = I_0\sin\omega t$ とすると、抵抗の瞬時電圧は：

$$V_R = RI_0\sin\omega t$$

抵抗の瞬時電力は：

$$P_R = V_R \cdot I = R I_0^2 \sin^2\omega t$$

(2) インピーダンスと電流

回路全体のインピーダンスは、$V_R$、$V_L - V_C$ を直角の2辺とする直角三角形の斜辺として：

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$$

実効電流は：

$$I_e = \frac{V_e}{Z} = \frac{V_e}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$$

(3) 位相差

電圧と電流の位相差 $\phi$ は、フェーザ図の直角三角形から：

$$\tan\phi = \frac{X_L - X_C}{R}$$

$X_L > X_C$ なら $\phi > 0$（電圧が電流より進み＝誘導性）、$X_L < X_C$ なら $\phi < 0$（遅れ＝容量性）。

答え：
インピーダンス：$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
電流の実効値：$I_e = V_e / Z$
位相差：$\tan\phi = (X_L - X_C)/R$
別解：複素インピーダンスによる解法

複素数表示では：

$$\tilde{Z} = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C})$$

大きさ $|\tilde{Z}| = Z$、偏角 $\arg(\tilde{Z}) = \phi$ となり、インピーダンスと位相差が同時に求まります。

RLC直列回路の具体計算

$R = 40$ Ω, $L = 0.20$ H, $C = 50 \times 10^{-6}$ F の直列回路に $f = 60$ Hz, 実効電圧 $V_e = 100$ V を加えます。角振動数 $\omega = 2\pi f \fallingdotseq 377$ rad/s より

$$X_L = \omega L = 377 \times 0.20 \fallingdotseq 75.4 \text{ Ω}, \quad X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{377 \times 50\times 10^{-6}} \fallingdotseq 53.1 \text{ Ω}$$ $$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{40^2 + (75.4-53.1)^2} \fallingdotseq 45.8 \text{ Ω}$$ $$I_e = \frac{V_e}{Z} = \frac{100}{45.8} \fallingdotseq 2.18 \text{ A}$$

消費電力は抵抗のみで発生するので

$$P = I_e^2 R = (2.18)^2 \times 40 \fallingdotseq 190 \text{ W}$$
Point

RLC直列回路のインピーダンス $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$。$V_L$ と $V_C$ は逆位相なので差をとる。消費電力は抵抗のみ：$P = I_e^2 R = V_e I_e \cos\phi$。