基本問題466 交流回路

RLC直列回路の計算

直感的理解
RLC直列回路では、$V_R$ は電流と同位相、$V_L$ は $\pi/2$ 進み、$V_C$ は $\pi/2$ 遅れます。$V_L$ と $V_C$ は逆向きなので打ち消し合い、合成電圧は $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ で求まります。フェーザ図の直角三角形がポイントです。

条件：$R = 30\;\Omega$、コイルのリアクタンス $X_L = 50\;\Omega$、コンデンサーのリアクタンス $X_C = 10\;\Omega$ の直列回路に実効値 $V_e = 100$ V の交流電圧を加える。

(1) インピーダンス $Z$

$R = 30\;\Omega$、$X_L = 50\;\Omega$、$X_C = 10\;\Omega$ を公式に代入：

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{30^2 + (50 - 10)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \text{ Ω}$$

(2) 回路を流れる電流の実効値

$V_e = 100$ V、$Z = 50\;\Omega$ より：

$$I_e = \frac{V_e}{Z} = \frac{100}{50} = 2.0 \text{ A}$$

(3) 各素子の電圧（実効値）

各素子の電圧は $V = I_e \times X$（または $R$）で求めます：

$$V_R = I_e R = 2.0 \times 30 = 60 \text{ V}$$ $$V_L = I_e X_L = 2.0 \times 50 = 100 \text{ V}$$ $$V_C = I_e X_C = 2.0 \times 10 = 20 \text{ V}$$

検算（ベクトル和）：

$$\sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2} = \sqrt{60^2 + (100 - 20)^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \text{ V} = V_e \quad \checkmark$$
答え：
(1) $Z = 50$ $\Omega$
(2) $I_e = 2.0$ A
(3) $V_R = 60$ V, $V_L = 100$ V, $V_C = 20$ V
補足：各電圧の単純和が電源電圧にならない理由

$V_R + V_L + V_C = 60 + 100 + 20 = 180$ V $\neq 100$ V です。これは各電圧の位相がずれているためです。

直流回路ではキルヒホッフの法則で電圧の代数和が0ですが、交流回路ではベクトル和（フェーザ和）が0になります。

Point

RLC直列回路では $V_R + V_L + V_C \neq V$（代数和）だが $\sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2} = V$（ベクトル和）。各素子の電圧が電源電圧を超えることもある。