基本問題467 交流回路

RLC直列回路の数値計算

直感的理解
インピーダンスの三角形は、抵抗 $R$ を底辺、リアクタンスの差 $X_L - X_C$ を高さ、インピーダンス $Z$ を斜辺とする直角三角形です。この三角形を正しく描ければ、交流回路の計算はすべてピタゴラスの定理に帰着します。

条件：$R = 30\;\Omega$、自己インダクタンス $L = 0.1$ H のコイル、電気容量 $C = 0.1$ mF のコンデンサーの直列回路。交流電圧の実効値 $V_e = 10$ V、周波数 $f = 50$ Hz。

(1) リアクタンスの計算

$f = 50$ Hz、$L = 0.1$ H、$C = 0.1$ mF $= 1.0 \times 10^{-4}$ F を代入します。

コイルのリアクタンス：

$$X_L = 2\pi f L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 0.1 = 31.4 \fallingdotseq 31 \text{ Ω}$$

コンデンサーのリアクタンス：

$$X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 50 \times 1.0 \times 10^{-4}} = \frac{1}{3.14 \times 10^{-2}} = 31.8 \fallingdotseq 32 \text{ Ω}$$

(2) インピーダンス

$R = 30\;\Omega$、$X_L \fallingdotseq 31\;\Omega$、$X_C \fallingdotseq 32\;\Omega$ を代入：

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{30^2 + (31 - 32)^2} = \sqrt{900 + 1} = \sqrt{901} \fallingdotseq 30 \text{ Ω}$$

$X_L \fallingdotseq X_C$ なので $Z \fallingdotseq R$（ほぼ共振状態に近い）。

(3) 回路を流れる電流の実効値

$V_e = 10$ V、$Z \fallingdotseq 30\;\Omega$ より：

$$I_e = \frac{V_e}{Z} = \frac{10}{30} \fallingdotseq 0.33 \text{ A}$$
答え：
(1) $X_L \fallingdotseq 31$ $\Omega$, $X_C \fallingdotseq 32$ $\Omega$
(2) $Z \fallingdotseq 30$ $\Omega$（共振に近い）
(3) $I_e \fallingdotseq 0.33$ A
補足：共振に近い場合の特徴

$X_L \fallingdotseq X_C$ のとき $(X_L - X_C) \fallingdotseq 0$ となるので：

$$Z \fallingdotseq R$$

このとき電流は最大値 $I_e \fallingdotseq V_e/R$ に近づき、位相差 $\phi \fallingdotseq 0$（電圧と電流がほぼ同位相）になります。

Point

$X_L \fallingdotseq X_C$ のとき回路は共振に近く、$Z \fallingdotseq R$、電流が最大になる。インピーダンス三角形で $R$ と $X_L - X_C$ の相対的な大きさを把握しよう。