基本問題468 共振回路

RLC直列共振

直感的理解
共振とは $X_L = X_C$ となる周波数で回路のインピーダンスが最小（$Z = R$）になり、電流が最大になる現象です。ブランコを揺らすとき固有周期に合わせると大きく振れるのと同じで、電気回路でも固有周波数に合わせると電流振幅が最大になります。スライダーで周波数を変えて共振点を探してみましょう。

条件：$R = 10\;\Omega$ の抵抗、自己インダクタンス $L = 0.1$ H のコイル、電気容量 $C = 25\;\mu\text{F}$ のコンデンサーを直列に接続。交流電圧の実効値 $V_e = 10$ V、角周波数 $\omega$ を変化させる。

(1) 共振角周波数

$X_L = X_C$ のとき共振するので、$\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$ より：

$$\omega_0^2 = \frac{1}{LC} \quad \Longrightarrow \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

$L = 0.1$ H、$C = 25 \times 10^{-6}$ F を代入：

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0.1 \times 25 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{2.5 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{1.58 \times 10^{-3}} \fallingdotseq 6.3 \times 10^2 \text{ rad/s}$$

(2) 共振周波数

$\omega_0 = 2\pi f_0$ より：

$$f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{6.3 \times 10^2}{2 \times 3.14} \fallingdotseq \frac{630}{6.28} \fallingdotseq 100 \text{ Hz}$$

(3) 共振時の電流の最大値

共振時 $Z = R = 10\;\Omega$ なので：

$$I_{e,\text{max}} = \frac{V_e}{R} = \frac{10}{10} = 1.0 \text{ A}$$
答え：
(1) $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \fallingdotseq 6.3 \times 10^2$ rad/s
(2) $f_0 \fallingdotseq 100$ Hz
(3) $I_{e,\text{max}} = V_e/R = 1.0$ A
補足：共振の鋭さ（Q値）

共振の鋭さはQ値（Quality factor）で表されます：

$$Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

Q値が大きいほど共振ピークが鋭く、特定の周波数だけを選択的に増幅できます。ラジオの同調回路などで利用されます。

Point

共振条件 $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$、$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$。共振時は $Z = R$（最小）で電流が最大。$X_L = X_C$ で互いに打ち消し合う。