LC回路の電気振動

条件：起電力 $E$ の直流電源で電気容量 $C$ のコンデンサーを充電後、コイル（自己インダクタンス $L$）に接続。

(1) スイッチを入れた直後

$t = 0$ でコンデンサーの電荷は $Q_0 = CE$（最大）、電流は $I = 0$。このときの静電エネルギーは：

$$U_C = \frac{Q_0^2}{2C} = \frac{(CE)^2}{2C} = \frac{1}{2}CE^2$$

(2) 電流の時間変化

エネルギー保存より、静電エネルギーがすべてコイルの磁気エネルギーに変換されたとき電流が最大：

$$\frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}LI_0^2$$

$I_0$ について解くと：

$$I_0^2 = \frac{C}{L}E^2 \quad \Longrightarrow \quad I_0 = E\sqrt{\frac{C}{L}}$$

(3) 振動の周期

LC 回路の電気振動は角周波数 $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ の単振動なので：

$$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{LC}$$

(4) エネルギー保存

任意の時刻で、静電エネルギーと磁気エネルギーの和は一定：

$$\frac{q^2}{2C} + \frac{1}{2}LI^2 = \frac{Q_0^2}{2C} = \frac{1}{2}CE^2 = \text{一定}$$

補足：ばねの振動との対応

力学	電気
変位 $x$	電荷 $q$
速度 $v = dx/dt$	電流 $I = dq/dt$
質量 $m$	インダクタンス $L$
ばね定数 $k$	$1/C$
位置エネルギー $kx^2/2$	静電エネルギー $q^2/(2C)$
運動エネルギー $mv^2/2$	磁気エネルギー $LI^2/2$

🧮 数値計算で確認

\(B = 0.40\) T の磁場中を速さ \(v = 5.0\) m/s で移動する長さ \(l = 0.30\) m の導体棒：

$$\mathcal{E} = Blv = 0.40 \times 0.30 \times 5.0 = 0.60 \text{ V}$$ $$R = 3.0 \text{ Ω のとき } I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{0.60}{3.0} = 0.20 \text{ A}$$ $$F = BIl = 0.40 \times 0.20 \times 0.30 = 0.024 \text{ N}$$