設問(1) 電流と電力の式・グラフ

(1) 電流と電力の式：

抵抗 $R$ に交流電圧 $V = V_0 \sin\omega t$ を加えると、オームの法則より電流は：

$$I = \frac{V}{R} = \frac{V_0}{R}\sin\omega t$$

抵抗では電圧と電流が同位相。消費電力は：

$$P = VI = \frac{V_0^2}{R}\sin^2\omega t$$

$P$ は常に $\geq 0$（エネルギーは常に消費される方向）。

(2) 1周期にわたる平均の電力 $\bar{P}$：

倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を用いると：

$$\sin^2\omega t = \frac{1 - \cos 2\omega t}{2}$$

$\cos 2\omega t$ の1周期の平均は $0$ なので：

$$\bar{P} = \frac{V_0^2}{R} \cdot \overline{\sin^2\omega t} = \frac{V_0^2}{R} \cdot \frac{1}{2} = \frac{V_0^2}{2R}$$

(3) 実効値を使った表現：

電圧の実効値 $V_e = \dfrac{V_0}{\sqrt{2}}$、電流の実効値 $I_e = \dfrac{V_0}{\sqrt{2}\,R}$ を定義すると：

$$\bar{P} = \frac{V_0^2}{2R} = \frac{V_e^2}{R} = I_e V_e$$

実効値を使えば、直流回路と全く同じ形の公式で平均電力を求められる。

補足：実効値の意味

実効値とは、交流が直流と同じ仕事率（電力）を消費するような等価な値です。

$V_e = \dfrac{V_0}{\sqrt{2}} \fallingdotseq 0.707 V_0$ なので、最大値 100 V の交流は実効値約 70.7 V の直流と同じ電力を消費します。

家庭用コンセントの「100 V」は実効値であり、最大値は $100\sqrt{2} \fallingdotseq 141$ V です。