リアクタンスと共振

直感的理解

コイルのリアクタンスは周波数に比例して増え、コンデンサーのリアクタンスは周波数に反比例して減ります。この2つが交わる周波数 $f_0$ が共振周波数で、$X_L = X_C$ となり電流が最大になります。ドラッグして確認してみましょう。

空欄の解答：

（ア）コイルのリアクタンスは周波数 $f$ に比例

（イ）コンデンサーのリアクタンスは周波数 $f$ に反比例

（ウ）$I_C$ と $I_L$ の位相差は $\pi$（180°）…互いに逆位相

（エ）$f = f_0$ のとき $|I_C| = |I_L|$ かつ逆位相なので打ち消し合い、合計電流 $I = 0$

（オ）共振条件 $X_L = X_C$ を解くと：

$$2\pi f_0 L = \frac{1}{2\pi f_0 C}$$

両辺を整理して $f_0$ を求めます：

$$(2\pi f_0)^2 = \frac{1}{LC} \quad \Longrightarrow \quad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

（カ）この周波数を共振周波数という

答え：
（ア）比例（イ）反比例（ウ）$\pi$（あるいは 180°）
（エ）$f = f_0$ のとき $I_C = I_L$（大きさ等しく向き逆）→ $I = 0$
（オ）$2\pi f_0 L = \dfrac{1}{2\pi f_0 C}$ → $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
（カ）共振周波数

補足：共振回路の応用

共振回路はラジオのチューナーなどで使われています。特定の周波数 $f_0$ の電波だけを選択的に受信できます。

$L$ または $C$ の値を変えることで共振周波数を調整できます：

$C$ を大きくする → $f_0$ が下がる（低い周波数を選択）
$C$ を小さくする → $f_0$ が上がる（高い周波数を選択）

Point

$X_L = \omega L$（周波数に比例）、$X_C = \dfrac{1}{\omega C}$（反比例）。共振周波数 $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ で $X_L = X_C$、並列回路では電流が最小になる。

🧮 数値計算で確認

$B = 0.40$ T の磁場中を速さ $v = 5.0$ m/s で移動する長さ $l = 0.30$ m の導体棒：

$$\mathcal{E} = Blv = 0.40 \times 0.30 \times 5.0 = 0.60 \text{ V}$$ $$R = 3.0 \text{ Ω のとき } I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{0.60}{3.0} = 0.20 \text{ A}$$ $$F = BIl = 0.40 \times 0.20 \times 0.30 = 0.024 \text{ N}$$

基本例題92 交流回路

リアクタンスと共振