立式：電子が電場 $E_0$ の領域を通過する間、$y$ 方向に加速度 $a = eE_0/m$ を受けます。
通過時間は $t = l/v_0$ なので、出口での $y$ 方向の速度は
$$v_y = at = \frac{eE_0}{m} \cdot \frac{l}{v_0}$$偏向角 $\theta$ は
$$\tan\theta = \frac{v_y}{v_0} = \frac{eE_0 l}{mv_0^2}$$数値代入：$\theta = 30°$ より $\tan 30° = 1/\sqrt{3}$ なので：
$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{eE_0 l}{mv_0^2}$$$e/m$ について解くと
$$\frac{e}{m} = \frac{v_0^2}{\sqrt{3}\,E_0\,l}$$電場のみでの偏向角から比電荷が求まる。$\tan\theta = eEl/(mv_0^2)$ を変形して $e/m$ を分離する。
$y$ 方向（電場による偏向）：
$$y_s = \frac{eEl^2}{2mv_0^2}$$$x$ 方向（磁場による偏向）：ローレンツ力 $F = ev_0B$ が $x$ 方向にはたらくので
$$x_s = \frac{eBl^2}{2mv_0}$$電場と磁場が直交する場合、偏向は独立に計算できる。$x$ 偏向は $B$ と $v_0$ に、$y$ 偏向は $E$ と $v_0^2$ に依存。
$x = \frac{eBl^2}{2mv_0}$ より $v_0 = \frac{eBl^2}{2mx}$。これを $y$ の式に代入：
$$y = \frac{eEl^2}{2m} \cdot \frac{4m^2x^2}{e^2B^2l^4} = \frac{2mEx^2}{eB^2l^2}$$これは $y \propto x^2$ の放物線です。
一様電場中では $E = -\frac{\Delta V}{\Delta d}$ の関係があります。電位が高い方から低い方へ電場が向き、等電位面は電場に垂直です。
加速電圧 $V_0 = 1.0 \times 10^3$ V で加速された電子の速さは
$$v_0 = \sqrt{\frac{2eV_0}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^3}{9.1 \times 10^{-31}}} \fallingdotseq 1.88 \times 10^7 \text{ m/s}$$偏向極板の長さ $L = 5.0 \times 10^{-2}$ m、極板電場 $E = 2.0 \times 10^4$ V/m 中での加速度は
$$a = \frac{eE}{m_e} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^4}{9.1 \times 10^{-31}} \fallingdotseq 3.52 \times 10^{15} \text{ m/s}^2$$極板を通過する時間 $t = L/v_0$ 後の偏向距離は
$$y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 3.52\times10^{15} \times \left(\frac{5.0\times10^{-2}}{1.88\times10^7}\right)^2 \fallingdotseq 1.24 \times 10^{-2} \text{ m}$$放物線の形から比電荷 $e/m_e \fallingdotseq 1.76 \times 10^{11}$ C/kg が決定できます。
トムソンの実験では、衝突点の放物線の形から比電荷 $e/m$ が決まる。