応用問題495 光の圧力

設問(1)　光子1個の力積

直感的理解
光子は運動量 $p = h/\lambda$ をもちます。鏡で完全反射すると、運動量が $+p$ から $-p$ に変わるので、光子1個あたりの運動量変化は $2p = 2h/\lambda$ です。これが鏡に力積を与えます。

光子1個の運動量：$p = h/\lambda$

完全反射による運動量変化：

力積 $I = \Delta p = 2h/\lambda$（N\cdot s）

答え：
$$I = \frac{2h}{\lambda} \text{ N\cdot s}$$
Point

反射による運動量変化は入射時の2倍。吸収なら $h/\lambda$、完全反射なら $2h/\lambda$。

設問(2)　毎秒 $n$ 個の光子

直感的理解
光子1個のエネルギーは $hc/\lambda$ なので、毎秒 $E$ [J] のエネルギーに含まれる光子数 $n$ は $E/(hc/\lambda)$ 個です。
$$n = \frac{E}{hc/\lambda} = \frac{E\lambda}{hc}$$
答え：
$$n = \frac{E\lambda}{hc}$$
Point

毎秒あたりの光子数 = 全パワー / 光子1個のエネルギー。

設問(3)　光の圧力 $P$

直感的理解
圧力 = 力/面積。力は毎秒の運動量変化 $F = n \cdot 2h/\lambda$ で求まります。
$$F = n \cdot \frac{2h}{\lambda} = \frac{E\lambda}{hc} \cdot \frac{2h}{\lambda} = \frac{2E}{c}$$ $$P = \frac{F}{S} = \frac{2E}{cS}$$
答え：
$$P = \frac{2E}{cS} \text{ Pa}$$
補足：運動量保存則が成り立つ条件

外力の合力がゼロ（または衝突時間が極めて短く外力の力積が無視できる）のとき、系全体の運動量は保存されます。

光の圧力の具体計算

光強度 $I_{\text{光}} = 1.0 \times 10^3$ W/m²（地表の日射強度程度）が完全反射面に垂直入射するときの光圧は

$$P = \frac{2 I_{\text{光}}}{c} = \frac{2 \times 1.0 \times 10^3}{3.0 \times 10^8} \fallingdotseq 6.7 \times 10^{-6} \text{ Pa}$$

面積 $S = 10$ m² の反射面に働く力は

$$F = PS = 6.7 \times 10^{-6} \times 10 \fallingdotseq 6.7 \times 10^{-5} \text{ N}$$

光子 1 個あたりの運動量（波長 $\lambda = 5.0 \times 10^{-7}$ m の可視光）は

$$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{5.0 \times 10^{-7}} \fallingdotseq 1.33 \times 10^{-27} \text{ kg·m/s}$$

光圧は小さいですが、ソーラーセイル（宇宙帆船）の推進原理として利用されています。

Point

光の圧力は波長に依存しない。完全反射面では $P = 2I_{\text{光}}/c$（$I_{\text{光}}$ は単位面積あたりのパワー）。