応用問題497 コンプトン効果

設問(1)　エネルギー保存の式

直感的理解
コンプトン効果はX線光子と電子の弾性衝突です。光子はエネルギーと運動量の一部を電子に渡すので、散乱X線の波長は長くなります。

エネルギー保存則：

答え：
$$\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda'} + \frac{1}{2}mv^2$$
Point

光子のエネルギー $hc/\lambda$ と電子の運動エネルギー $\frac{1}{2}mv^2$ でエネルギー保存。

設問(2)　運動量保存の式

直感的理解
運動量は $x$ 成分と $y$ 成分それぞれで保存されます。光子の運動量は $p = h/\lambda$ です。

$x$ 方向：

$$\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda'}\cos\phi + mv\cos\theta$$

$y$ 方向：

$$0 = \frac{h}{\lambda'}\sin\phi - mv\sin\theta$$
答え：
$x$: $\dfrac{h}{\lambda} = \dfrac{h}{\lambda'}\cos\phi + mv\cos\theta$
$y$: $0 = \dfrac{h}{\lambda'}\sin\phi - mv\sin\theta$
Point

2次元の衝突問題として $x$, $y$ 各成分で運動量保存を立てる。

設問(3)　コンプトンシフト $\lambda' - \lambda$

直感的理解
$\lambda \fallingdotseq \lambda'$ の近似で $v$ と $\theta$ を消去すると、散乱角 $\phi$ だけで波長変化が決まります。

$\lambda'/\lambda + \lambda/\lambda' \fallingdotseq 2$ の近似と3式から $v, \theta$ を消去すると：

$$\lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\phi)$$

これがコンプトンの式です。$h/(mc)$ はコンプトン波長と呼ばれます。

答え：
$$\lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\phi)$$
補足：運動量保存則が成り立つ条件

外力の合力がゼロ（または衝突時間が極めて短く外力の力積が無視できる）のとき、系全体の運動量は保存されます。

コンプトン効果の具体計算

入射X線の波長 $\lambda = 7.0 \times 10^{-11}$ m, 散乱角 $\phi = 60°$ のとき、波長変化は

$$\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos 60°) = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 3.0 \times 10^8}\times 0.5 \fallingdotseq 1.21 \times 10^{-12} \text{ m}$$ $$\lambda' = \lambda + \Delta\lambda = 7.0\times10^{-11} + 1.21\times10^{-12} \fallingdotseq 7.12 \times 10^{-11} \text{ m}$$

入射光子のエネルギーと散乱後の光子のエネルギーは

$$E = \frac{hc}{\lambda} \fallingdotseq 2.84 \times 10^{-15} \text{ J}, \quad E' = \frac{hc}{\lambda'} \fallingdotseq 2.79 \times 10^{-15} \text{ J}$$

差額 $E - E' \fallingdotseq 4.9 \times 10^{-17}$ J が散乱電子の運動エネルギーとなります。

Point

コンプトンシフトは散乱角のみに依存し、入射X線の波長 $\lambda$ には依存しない。$\phi = 180°$（後方散乱）で最大 $2h/(mc)$。