応用問題498 X線と電子線の回折

設問(1)　電子の波長 $\lambda$

直感的理解
電子を加速電圧 $V$ で加速すると運動エネルギー $eV$ を得ます。ド・ブロイ波長 $\lambda = h/\sqrt{2meV}$ で計算でき、$V = 55$ V程度のとき波長は原子間距離と同程度になるため回折が観測できます。

$e = 1.6 \times 10^{-19}$ C, $h = 6.6 \times 10^{-34}$ J\cdot s, $m = 9.1 \times 10^{-31}$ kg, $V = 55$ V として：

答え：
$$\lambda = 1.7 \times 10^{-10} \text{ m}$$
Point

電子線のド・ブロイ波長はX線と同程度（0.1 nm付近）なので、結晶による回折実験が可能。

設問(2)(3)　経路差とブラッグの条件

直感的理解
結晶面で反射する電子線の経路差は $2d\sin\theta$ です。これが波長の整数倍のとき強め合います。

(2) 経路差：隣り合う2つの結晶面からの反射波の経路差は

$$\Delta = 2d\sin\theta$$

(3) 強め合いの条件：$2d\sin\theta = n\lambda$

答え：
(2) $\Delta = 2d\sin\theta$
(3) $2d\sin\theta = n\lambda$（$n = 1, 2, 3, \ldots$）
Point

ブラッグの条件は電子線にもX線にも共通。$2d\sin\theta = n\lambda$。

設問(4)　結晶面の間隔 $d$

直感的理解
$\theta = 30°$ で $n = 1$ の極大が観測されたので、ブラッグの条件から $d$ が直接求まります。

$\theta = 30°$, $n = 1$, $\lambda = 1.7 \times 10^{-10}$ m を代入：

$$2d\sin 30° = \lambda$$ $$2d \times \frac{1}{2} = 1.7 \times 10^{-10}$$ $$d = 1.7 \times 10^{-10} \text{ m}$$
答え：
$$d = 1.7 \times 10^{-10} \text{ m}$$
補足：X線回折と電子線回折の比較

X線と電子線はどちらも結晶の回折実験に使えますが、性質が異なります。

  • X線：電磁波。$\lambda = h\nu/c$ で波長が決まる。真空中でも空気中でも伝搬可能。
  • 電子線：物質波（ド・ブロイ波）。$\lambda = h/p = h/\sqrt{2meV}$ で加速電圧により波長を容易に変えられる。真空中でないと散乱される。

電子線の利点は、加速電圧を変えるだけで波長を連続的に調整できることです。本問では $V = 55$ V で $\lambda \fallingdotseq 1.7$ A ですが、$V = 100$ V にすると $\lambda \fallingdotseq 1.2$ A と短くなり、より細かい結晶構造の観察が可能になります。

Point

$\sin 30° = 1/2$ で $n = 1$ の場合 $d = \lambda$。回折実験から結晶構造がわかる。