ミリカンの実験：油滴の釣り合い

原理：質量 \(m\)、電荷 \(q\)（負）の油滴が極板間距離 \(d\)、電圧 \(V\) の平行板コンデンサー内で静止するとき、重力と静電気力が釣り合います。

釣り合いの条件：

極板間の電場は

$$E = \frac{V}{d}$$

油滴に働く力の釣り合い（上向き正）：

$$qE = mg$$

$E = V/d$ を代入すると

$$q \cdot \frac{V}{d} = mg$$

$q$ について解くと

$$q = \frac{mgd}{V}$$

補足：油滴の質量の求め方

電場をかけない状態で油滴を落下させ、終端速度 \(v\) を測定します。ストークスの法則より：

$$6\pi \eta r v = mg = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g$$

ここから油滴の半径 \(r\) が求まり、質量 \(m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho\) を計算できます。

ミリカン実験の具体計算

極板間隔 $d = 5.0 \times 10^{-3}$ m, 電圧 $V = 400$ V の平行板電場中で、質量 $m = 1.0 \times 10^{-15}$ kg の油滴が静止したとします。電場の大きさは

$$E = \frac{V}{d} = \frac{400}{5.0 \times 10^{-3}} = 8.0 \times 10^4 \text{ V/m}$$

重力と静電気力のつりあい $qE = mg$ より

$$q = \frac{mg}{E} = \frac{1.0 \times 10^{-15} \times 9.8}{8.0 \times 10^4} \fallingdotseq 1.23 \times 10^{-19} \text{ C}$$

電気素量 $e = 1.6 \times 10^{-19}$ C と比較すると、この油滴の電荷数は

$$n = \frac{q}{e} = \frac{1.23 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \fallingdotseq 0.77$$

実測では $q$ は常に $e$ の整数倍となるので、実験誤差を考えると $n = 1$ に相当します。