ミリカンの実験：油滴の落下と釣り合い

Step 1：終端速度の測定（電場なし）

油滴が等速で落下するとき、重力と粘性抵抗力（ストークスの法則）が釣り合います。

$$mg = 6\pi \eta r v$$

油滴の質量は \(m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho\) なので代入すると

$$\frac{4}{3}\pi r^3 \rho g = 6\pi \eta r v$$

$r$ について解くと

$$r = \sqrt{\frac{9\eta v}{2\rho g}}$$

これで油滴の半径 $r$ → 質量 $m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ が求まります。

Step 2：電場による静止

電圧 \(V\)、極板間距離 \(d\) のとき、電場 $E = V/d$。静止条件は

$$qE = mg \quad \Rightarrow \quad q \cdot \frac{V}{d} = mg$$

$q$ について解くと

$$q = \frac{mgd}{V}$$

補足：なぜ終端速度を使うのか

油滴は非常に小さい（半径 \(\sim 1 \, \mu\mathrm{m}\)）ため、直接質量を測れません。ストークスの法則を使えば、終端速度の測定だけで半径（→質量）が求まります。ストークスの法則は、レイノルズ数が非常に小さい（層流）場合に成立します。

ミリカン実験の具体的数値計算

油滴が終端速度 $v_t = 1.0 \times 10^{-4}$ m/s で落下するとします。半径 $a$ の油滴に対する空気抵抗（ストークスの法則）と重力のつりあいから質量が決まります。油滴半径を $a = 1.0 \times 10^{-6}$ m、密度 $\rho = 900$ kg/m³ とすると質量は

$$m = \frac{4}{3}\pi a^3 \rho = \frac{4}{3}\pi \times (1.0\times10^{-6})^3 \times 900 \fallingdotseq 3.77 \times 10^{-15} \text{ kg}$$

極板間隔 $d = 1.0 \times 10^{-2}$ m, 静止させる電圧 $V = 230$ V のとき、電場は $E = V/d = 2.3 \times 10^4$ V/m。電荷は

$$q = \frac{mg}{E} = \frac{3.77 \times 10^{-15} \times 9.8}{2.3 \times 10^4} \fallingdotseq 1.60 \times 10^{-18} \text{ C}$$

電気素量で割ると

$$n = \frac{q}{e} = \frac{1.60 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} = 10$$

油滴には 10 個の電子が付着しているとわかります。