電気素量の決定

問題設定：複数の油滴の電荷を測定した結果（単位：\(\times 10^{-19}\) C）：

4.7, 6.3, 7.8, 9.5, 11.0, 14.1, 15.7 ...

解法：これらの値の最大公約数（電気素量 $e$）を求めます。

隣り合う値の差を取ると：

$$6.3 - 4.7 = 1.6, \quad 7.8 - 6.3 = 1.5, \quad 9.5 - 7.8 = 1.7$$

差はすべて約 $1.6 \times 10^{-19}$ C であり、各電荷はこの値の整数倍です：

$$4.7 \fallingdotseq 3 \times 1.57, \quad 6.3 \fallingdotseq 4 \times 1.57, \quad 7.8 \fallingdotseq 5 \times 1.57$$ $$9.5 \fallingdotseq 6 \times 1.57, \quad 15.7 \fallingdotseq 10 \times 1.57$$

したがって電気素量は $e \fallingdotseq 1.6 \times 10^{-19}$ C と決まります。

補足：電荷の量子化

ミリカンの実験で得られたすべての電荷値が $e$ の整数倍であることから、電荷は連続的な値をとれず、離散的（量子化されている）ことが実証されました。これは物質の粒子性を示す重要な証拠です。

電気素量の具体的決定

複数の油滴について電荷を測定した結果、$q_1 = 3.2 \times 10^{-19}$ C, $q_2 = 4.8 \times 10^{-19}$ C, $q_3 = 8.0 \times 10^{-19}$ C が得られたとします。差をとると

$$q_2 - q_1 = 4.8 \times 10^{-19} - 3.2 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$$ $$q_3 - q_2 = 8.0 \times 10^{-19} - 4.8 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ C}$$

これらの最大公約数を求めると

$$e = \gcd(1.6\times10^{-19},\; 3.2\times10^{-19}) = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$$

よって $q_1 = 2e$, $q_2 = 3e$, $q_3 = 5e$ であり、電荷は必ず $e$ の整数倍です（電荷の量子化）。

数値まとめ：電気素量 $e = 1.6 \times 10^{-19}$ C。電場 $E = 2.0 \times 10^4$ V/m 中で質量 $m = 1.0 \times 10^{-15}$ kg の油滴を静止させる電荷も同じオーダーです。油滴1個あたり複数電子分（例: 3e = 4.8 × 10^-19 C）の電荷が付着します。