光電効果の計算

与えられた条件：仕事関数 \(W = 3.7 \times 10^{-19}\) J の金属に、波長 \(\lambda = 3.3 \times 10^{-7}\) m の光を当てる。プランク定数 \(h = 6.6 \times 10^{-34}\) J・s、光速 \(c = 3.0 \times 10^8\) m/s。

(1) 光子1個のエネルギー：

光子のエネルギーは \(E = h\nu = hc/\lambda\) で求まります：

$$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{3.3 \times 10^{-7}}$$ $$= \frac{19.8 \times 10^{-26}}{3.3 \times 10^{-7}} = 6.0 \times 10^{-19} \text{ J}$$

(2) 光電子の最大運動エネルギー：

アインシュタインの光電効果の式 \(K_{\max} = h\nu - W\) より

$$K_{\max} = E - W = 6.0 \times 10^{-19} - 3.7 \times 10^{-19} = 2.3 \times 10^{-19} \text{ J}$$

(3) 限界波長：

限界波長 \(\lambda_0\) は、光電効果がぎりぎり起きる条件（\(K_{\max} = 0\)）、すなわち光子エネルギーが仕事関数に等しいときの波長です：

$$h\nu_0 = W \quad \Rightarrow \quad \frac{hc}{\lambda_0} = W$$ $$\lambda_0 = \frac{hc}{W} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{3.7 \times 10^{-19}} = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{3.7 \times 10^{-19}} \fallingdotseq 5.4 \times 10^{-7} \text{ m}$$

補足：限界波長と限界振動数

限界波長 \(\lambda_0 \fallingdotseq 5.4 \times 10^{-7}\) m は可視光の黄緑色付近に相当します。これより長い波長（赤色光など）では光電効果は起こりません。限界振動数 \(\nu_0 = W/h\) で表すこともできます。