電場で加速された電子

エネルギー保存則：電場がした仕事がすべて運動エネルギーに変わるので

$$eV = \frac{1}{2}mv^2$$

速さを求める：$v$ について解くと

$$v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$$

$V = 12$ kV $= 1.2 \times 10^4$ V、$e = 1.6 \times 10^{-19}$ C、$m = 9.1 \times 10^{-31}$ kg を代入：

$$v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.2 \times 10^4}{9.1 \times 10^{-31}}}$$ $$= \sqrt{\frac{3.84 \times 10^{-15}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{4.22 \times 10^{15}} \fallingdotseq 6.5 \times 10^7 \text{ m/s}$$

補足：相対論的効果

求めた速さは光速の約 22% です。厳密には相対論的効果を考慮すべきですが、高校物理では非相対論的な計算で十分です。相対論的には：

$$eV = (\gamma - 1)mc^2, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

この場合の相対論的補正は数%程度です。