コンプトン散乱

コンプトンの式（波長変化）：

$$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\phi)$$

コンプトン波長の計算：

$$\frac{h}{mc} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \times 3.00 \times 10^8} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.73 \times 10^{-22}} = 2.43 \times 10^{-12} \text{ m}$$

保存則：

エネルギー保存：

$$\frac{hc}{\lambda} + mc^2 = \frac{hc}{\lambda'} + \gamma mc^2$$

運動量保存（$x$ 成分）：

$$\frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda'}\cos\phi + \gamma mv\cos\theta$$

運動量保存（$y$ 成分）：

$$0 = \frac{h}{\lambda'}\sin\phi - \gamma mv\sin\theta$$

$\phi = 90°$ のとき：$\cos 90° = 0$ なので

$$\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - 0) = \frac{h}{mc} = 2.43 \times 10^{-12} \text{ m} = 2.43 \text{ pm}$$

入射波長 $\lambda = 7.10 \times 10^{-11}$ m（X線）のとき、散乱後の波長は：

$$\lambda' = \lambda + \Delta\lambda = 7.10 \times 10^{-11} + 2.43 \times 10^{-12} = 7.34 \times 10^{-11} \text{ m}$$

散乱光子のエネルギー変化率：

$$\frac{\Delta E}{E} = 1 - \frac{\lambda}{\lambda'} = 1 - \frac{7.10}{7.34} = 0.033 = 3.3\%$$

$\phi = 180°$（後方散乱）のとき：$\cos 180° = -1$ なので

$$\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - (-1)) = \frac{2h}{mc} = 2 \times 2.43 \times 10^{-12} = 4.86 \times 10^{-12} \text{ m}$$

$\phi = 60°$ のとき：$\cos 60° = 0.50$ なので

$$\Delta\lambda = 2.43 \times 10^{-12} \times (1 - 0.50) = 1.22 \times 10^{-12} \text{ m} = 1.22 \text{ pm}$$

別解：コンプトンの式の導出

エネルギー・運動量保存の3式から電子の反跳角 \(\theta\) と速さ \(v\) を消去すると、コンプトンの式が得られます。

運動量保存の2式を二乗して足すと：

$$(\gamma mv)^2 = \left(\frac{h}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda'}\right)^2 - 2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}\cos\phi$$

エネルギー保存から \((\gamma mc)^2\) の式を作り、相対論的エネルギー-運動量の関係 \((\gamma mc^2)^2 = (\gamma mvc)^2 + (mc^2)^2\) を使うと、整理して：

$$\frac{1}{\lambda'} - \frac{1}{\lambda} = \frac{h}{mc\lambda\lambda'}(1 - \cos\phi)$$ $$\therefore \lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\phi)$$

コンプトン効果の具体計算

入射X線の波長 $\lambda = 1.0 \times 10^{-11}$ m を散乱角 $\phi = 90°$ で散乱したとき、波長の変化は

$$\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1-\cos\phi) = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 3.0 \times 10^8}(1 - 0)$$ $$\Delta\lambda \fallingdotseq 2.43 \times 10^{-12} \text{ m}$$

散乱後の波長は

$$\lambda' = \lambda + \Delta\lambda = 1.0 \times 10^{-11} + 2.43 \times 10^{-12} \fallingdotseq 1.24 \times 10^{-11} \text{ m}$$

入射光子のエネルギーは

$$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63\times10^{-34} \times 3.0\times10^8}{1.0\times10^{-11}} \fallingdotseq 1.99 \times 10^{-14} \text{ J} \fallingdotseq 1.24 \times 10^5 \text{ eV}$$

散乱角が大きいほど波長の伸びも大きく、最大値（$\phi = 180°$）で $2h/(m_e c) \fallingdotseq 4.86 \times 10^{-12}$ m です。