ド・ブロイ波長（物質波）

ド・ブロイの関係式：運動量 $p$ の粒子に対応する波長は

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$

電圧 $V$ で加速された電子のド・ブロイ波長：加速のエネルギー保存より

$$eV = \frac{1}{2}mv^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$$

運動量は $p = mv = m\sqrt{2eV/m} = \sqrt{2meV}$ なので、ド・ブロイ波長は：

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$$

計算例：$V = 100$ V のとき、$h = 6.63 \times 10^{-34}$ J·s, $m = 9.11 \times 10^{-31}$ kg, $e = 1.60 \times 10^{-19}$ C を代入すると

$$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 1.60 \times 10^{-19} \times 100}} \fallingdotseq 1.2 \times 10^{-10} \text{ m}$$

補足：なぜ日常のものでは波動性が見えないか

質量 1 g、速さ 1 m/s のビー玉のド・ブロイ波長は：

$$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{10^{-3} \times 1} = 6.6 \times 10^{-31} \text{ m}$$

これは原子核の大きさ（\(\sim 10^{-15}\) m）よりも遥かに小さく、いかなる測定装置でも検出できません。物質波は電子のように質量が極めて小さい粒子でのみ観測できます。