基本例題96 光電効果

設問(1)　限界波長 $\lambda_0$

直感的理解
光電効果では、光の振動数が限界振動数 $\nu_0$（$V_0 = 0$ となる点）以上でないと光電子は飛び出しません。$\nu < \nu_0$ ではどんなに光を強くしても電流は0です。限界波長はこの限界振動数に対応する波長です。

グラフの読み取り：$V_0 = 0$ との交点が限界振動数 $\nu_0$ です。

グラフより $\nu_0 = 4.5 \times 10^{14}$ Hz。

$c = \nu_0 \lambda_0$ の関係より：

$$\lambda_0 = \frac{c}{\nu_0} = \frac{3.0 \times 10^8}{4.5 \times 10^{14}} = 6.7 \times 10^{-7} \text{ m}$$
答え：
$$\lambda_0 = 6.7 \times 10^{-7} \text{ m}$$
Point

$V_0$-$\nu$ グラフで横軸との交点が限界振動数 $\nu_0$。$\lambda_0 = c/\nu_0$ で限界波長に換算。

設問(2)　仕事関数 $W$

直感的理解
仕事関数 $W$ は金属から電子を取り出すのに必要な最低エネルギーです。$V_0$-$\nu$ グラフの縦軸切片が $-W/e$ に対応します。

グラフより $V_0$ 軸の切片は $-1.8$ V なので

$$-\frac{W}{e} = -1.8 \text{ V}$$ $$W = 1.8 \times (1.6 \times 10^{-19}) = 2.9 \times 10^{-19} \text{ J}$$
答え：
$$W = 2.9 \times 10^{-19} \text{ J}$$
Point

$V_0$-$\nu$ グラフの縦軸切片 = $-W/e$。仕事関数 $W = h\nu_0$ でも求められる。

設問(3)　プランク定数 $h$

直感的理解
$V_0$-$\nu$ グラフの傾きが $h/e$ に等しいことを利用します。光電効果の式 $K_0 = h\nu - W$ を $eV_0 = h\nu - W$ と書くと、$V_0 = (h/e)\nu - W/e$ は一次関数です。

グラフの傾きを読み取ります。$\nu$ が $4.5 \times 10^{14}$ Hz 増加すると $V_0$ は $1.8$ V 増加するので：

$$\frac{h}{e} = \frac{\Delta V_0}{\Delta \nu} = \frac{1.8}{4.5 \times 10^{14}}$$ $$h = \frac{1.8}{4.5 \times 10^{14}} \times (1.6 \times 10^{-19}) = 6.4 \times 10^{-34} \text{ J\cdot s}$$
答え：
$$h = 6.4 \times 10^{-34} \text{ J\cdot s}$$
別解：$W = h\nu_0$ から

$W = h\nu_0$ を使うと

$$h = \frac{W}{\nu_0} = \frac{2.9 \times 10^{-19}}{4.5 \times 10^{14}} \fallingdotseq 6.4 \times 10^{-34} \text{ J\cdot s}$$
Point

$V_0$-$\nu$ グラフの傾き = $h/e$。傾きに $e$ をかけてプランク定数 $h$ が得られる。光電効果の3つの式（$K_0 = h\nu - W$, $W = h\nu_0$, $K_0 = eV_0$）を使い分ける。