基本例題97 X線の発生と性質

設問(1)　電子の運動エネルギー・速さ・電子波

直感的理解
電子が電位差 $V$ で加速されると運動エネルギー $eV$ を得ます。陽極に衝突すると、この運動エネルギーの一部（または全部）がX線光子のエネルギーに変わります。全エネルギーが1個の光子に変わったとき、X線の波長は最短になります。

運動エネルギー：

$$E_k = eV$$

$V = 30$ kV $= 3.0 \times 10^4$ V のとき

$$E_k = 1.6 \times 10^{-19} \times 3.0 \times 10^4 = 4.8 \times 10^{-15} \text{ J}$$

速さ：$\frac{1}{2}mv^2 = eV$ より

$$v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 4.8 \times 10^{-15}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{1.05 \times 10^{16}} \fallingdotseq 1.0 \times 10^8 \text{ m/s}$$

電子波の波長：ド・ブロイの関係 $\lambda = h/p = h/(mv)$ より

$$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2meV}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 4.8 \times 10^{-15}}}$$ $$= \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{8.74 \times 10^{-45}}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9.3 \times 10^{-23}} \fallingdotseq 7.1 \times 10^{-12} \text{ m}$$
答え：
$$E = eV, \quad v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}, \quad \lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$$
Point

電圧 $V$ で加速された電子のド・ブロイ波長は $\lambda = h/\sqrt{2meV}$。$V$ が大きいほど波長は短い。

設問(2)　X線の最短波長 $\lambda_0$

直感的理解
電子の全運動エネルギー $eV$ がまるごと1個のX線光子に変わったとき、光子のエネルギーは最大＝波長は最短になります。

立式：

$$eV = h\nu_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$$ $$\lambda_0 = \frac{hc}{eV}$$
答え：
$$\lambda_0 = \frac{hc}{eV}$$
Point

X線の最短波長 $\lambda_0 = hc/(eV)$ は加速電圧にのみ依存し、ターゲット材質によらない。

設問(3)　加速電圧を増大したときの変化

直感的理解
スペクトルには連続X線（制動放射）と固有X線（特性X線）があります。加速電圧を変えるとそれぞれ異なる応答をします。

$\lambda_1$（最短波長）: 変化する。$\lambda_0 = hc/(eV)$ なので $V$ に反比例して短くなる。

$\lambda_2$, $\lambda_3$（固有X線のピーク位置）: 変化しない。固有X線の波長はターゲット金属の原子構造で決まり、加速電圧に依存しない。

答え：
$\lambda_1$：変化する（短くなる）。$\lambda_2$, $\lambda_3$：変化しない。
Point

連続X線の最短波長は加速電圧で決まるが、固有X線の波長はターゲット材質固有で加速電圧に依存しない。

設問(4)　X線の性質

直感的理解
X線は波長の短い電磁波なので、可視光にない特徴があります。

X線の主な性質：

答え：
物質への透過力が大きい、写真フィルムを感光させる、気体を電離する
補足：エネルギー保存と散逸

摩擦がある場合は力学的エネルギーの一部が熱エネルギーに変わりますが、全エネルギー（力学的+熱）は保存されます。

Point

X線は紫外線より波長が短い電磁波。透過力・電離作用・感光作用が主な性質。