応用問題514 水素原子のスペクトル

設問(1)　$n=3 \to n=2$ のエネルギーと波長

直感的理解
バルマー系列は $n \geq 3$ の軌道から $n = 2$ への遷移で放出される光です。$n = 3 \to 2$ が最も波長が長く（赤）、$n$ が大きくなるほど波長は短くなります。

立式：$E_n = -13.6/n^2$ eV より：

$$E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} = -1.51 \text{ eV}$$ $$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.40 \text{ eV}$$

放出エネルギー：

$$\Delta E = E_3 - E_2 = -1.51 - (-3.40) = 1.89 \text{ eV}$$

波長の計算：リュードベリの公式を使うと

$$\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n'^2} - \frac{1}{n^2}\right) = 1.10 \times 10^7 \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right)$$ $$= 1.10 \times 10^7 \times \frac{9 - 4}{36} = 1.10 \times 10^7 \times \frac{5}{36} = 1.53 \times 10^6 \text{ m}^{-1}$$ $$\lambda = \frac{1}{1.53 \times 10^6} = 6.56 \times 10^{-7} \text{ m} = 656 \text{ nm}$$
答え：
$$\lambda_{3 \to 2} = 6.56 \times 10^{-7} \text{ m (H\u03B1\u7DDA)}$$
Point

$1/\lambda = R(1/n'^2 - 1/n^2)$。バルマー系列 ($n' = 2$) は可視光領域。$n=3 \to 2$ が H$\alpha$ 線（赤）。

設問(2)(3)　$n=1$ のエネルギーと4本目のスペクトル線

直感的理解
$n \to \infty$ のときエネルギーは0に近づき、$n = 1$ で最も低い$-13.6$ eVです。バルマー系列の4本目は $n = 6 \to 2$ の遷移です。

(2) $n = 1$: $E_1 = -13.6$ eV。十分離れた位置（$E = 0$）から基底状態への遷移エネルギーは 13.6 eV。

(3) 4本目（$n = 6 \to 2$）の波長：

$$\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{36}\right) = R \times \frac{8}{36} = R \times \frac{2}{9}$$ $$\lambda = \frac{9}{2R} = \frac{9}{2 \times 1.10 \times 10^7} = 4.09 \times 10^{-7} \text{ m}$$
答え：
(2) $E_1 = -13.6$ eV
(3) $\lambda_{6 \to 2} = 4.09 \times 10^{-7}$ m（紫色、破線で表示）
補足：エネルギー保存と散逸

摩擦がある場合は力学的エネルギーの一部が熱エネルギーに変わりますが、全エネルギー（力学的+熱）は保存されます。

Point

バルマー系列は $n = 3, 4, 5, 6, \ldots$ から $n = 2$ への遷移。$n$ が大きいほど波長は短い（系列限界 $\lambda = 4/R = 364$ nm に収束）。