立式：${}^{238}\text{U}$ の現在の個数を $N$、初期の個数を $N_0$ とすると：
${}^{206}\text{Pb}$ の個数 $n = N_0 - N$ なので $N_0 = N + n$。
${}^{238}\text{U}$ と ${}^{206}\text{Pb}$ の比が $4:1$ のとき $N:n = 4:1$、つまり $N_0 = N + N/4 = 5N/4$。
半減期の式に代入：
$$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$$ $$\frac{N}{N_0} = \frac{N}{5N/4} = \frac{4}{5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$$対数をとって $t$ を求める：
$$\log_{10}\frac{4}{5} = \frac{t}{T} \log_{10}\frac{1}{2}$$ $$\log_{10}4 - \log_{10}5 = -\frac{t}{T} \times 0.301$$ $$0.602 - 0.699 = -\frac{t}{T} \times 0.301$$ $$-0.097 = -\frac{t}{T} \times 0.301$$ $$\frac{t}{T} = \frac{0.097}{0.301} = 0.322$$$T = 44.7$ 億年を代入すると
$$t = 0.322 \times 44.7 \fallingdotseq 14 \text{ 億年}$$光子のエネルギーは $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ です。波長が短い（振動数が大きい）ほどエネルギーが大きくなります。
$N/N_0 = (1/2)^{t/T}$ を $t$ について解く。$t = T \cdot \log(N_0/N) / \log 2$。