$\beta^+$ 崩壊と電子対消滅

$\beta^+$ 崩壊の式：

$$p \to n + e^+ + \nu_e$$

陽電子は電子と同じ質量で正の電荷をもつ反粒子。$\beta^+$ 崩壊では原子番号が1減る。

半減期の計算：$T = 12$ 時間のとき、$N/N_0 = 1/1000$ になる時間：

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} = \frac{1}{1000}$$ $$\frac{t}{T} \log_{10}\frac{1}{2} = \log_{10}\frac{1}{1000} = -3$$ $$\frac{t}{T} = \frac{3}{0.301} = 9.97$$ $$t = 9.97 \times 12 \fallingdotseq 120 \text{ 時間} = 5 \text{ 日}$$

電子対消滅のエネルギー：

$$E = 2m_e c^2 = 2 \times 0.511 = 1.02 \text{ MeV}$$

運動量保存より、$\gamma$ 線は互いに逆方向に放出され、各 $\gamma$ 線のエネルギーは

$$E_\gamma = m_e c^2 = 0.511 \text{ MeV} = 8.19 \times 10^{-14} \text{ J}$$

$\gamma$ 線の振動数と運動量：

$$\nu = \frac{E_\gamma}{h} = \frac{8.19 \times 10^{-14}}{6.63 \times 10^{-34}} = 1.24 \times 10^{20} \text{ Hz}$$ $$p_\gamma = \frac{E_\gamma}{c} = \frac{8.19 \times 10^{-14}}{3.0 \times 10^8} = 2.73 \times 10^{-22} \text{ kg·m/s}$$

補足：運動量保存則が成り立つ条件

外力の合力がゼロ（または衝突時間が極めて短く外力の力積が無視できる）のとき、系全体の運動量は保存されます。

電子対消滅の具体計算

静止した電子・陽電子対消滅 $e^+ + e^- \to 2\gamma$ の全エネルギーは $2 m_e c^2$。電子の静止エネルギーは

$$m_e c^2 = 9.1 \times 10^{-31} \times (3.0 \times 10^8)^2 \fallingdotseq 8.2 \times 10^{-14} \text{ J}$$ $$m_e c^2 \fallingdotseq 0.511 \text{ MeV}$$

運動量保存より2本のγ線は反対方向に $E_\gamma = m_e c^2$ ずつ持ち去ります：

$$E_\gamma = 0.511 \text{ MeV}, \quad \lambda_\gamma = \frac{hc}{E_\gamma} \fallingdotseq 2.43 \times 10^{-12} \text{ m}$$

PET検査ではこの $0.511$ MeV γ 線の同時検出から体内の陽電子放出核（${}^{18}$F など）の位置を決定します。

数値まとめ：電子の静止質量 $m_e = 9.1 \times 10^{-31}$ kg、光速 $c = 3.0 \times 10^8$ m/s より $m_e c^2 \fallingdotseq 8.2 \times 10^{-14}$ J $\fallingdotseq 0.511$ MeV。生成される2本のγ線はそれぞれ 0.511 MeV = 8.2 × 10^-14 J を持ちます。