水素原子のエネルギー準位と光の放出

水素原子のエネルギー準位は $E_n = -\dfrac{13.6}{n^2}$ eV で与えられる。

(1) 基底状態のエネルギー：

基底状態は $n = 1$ なので：

$$E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$$

(2) 電子の円運動の運動エネルギー：

クーロン力が向心力を担う運動方程式：

$$k_0 \frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$$

両辺に $r/2$ を掛けると運動エネルギー $K$ が求まる：

$$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{k_0 e^2}{2r}$$

一方、クーロンポテンシャルエネルギーは $U = -\dfrac{k_0 e^2}{r} = -2K$ なので、全エネルギーは：

$$E_n = K + U = K - 2K = -K \quad \Rightarrow \quad K = -E_n$$

基底状態（$n=1$）では $K = -E_1 = -(-13.6) = 13.6$ eV。

(3) 最も波長の長い光（ライマン系列の最長波長）：

ライマン系列（$n' = 1$ へ遷移）で最も波長が長い光は、エネルギー差が最も小さい $n = 2 \to n = 1$ の遷移：

$$\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{4} - (-13.6) = -3.40 + 13.6 = 10.2 \text{ eV}$$

$h = 6.63 \times 10^{-34}$ J·s, $c = 3.0 \times 10^8$ m/s, $1$ eV $= 1.6 \times 10^{-19}$ J を使い：

$$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{10.2 \times 1.6 \times 10^{-19}} \fallingdotseq 1.22 \times 10^{-7} \text{ m}$$

(4) 電離エネルギー（イオン化エネルギー）：

基底状態から $n = \infty$（自由電子、$E_\infty = 0$）にするためのエネルギー：

$$E_\infty - E_1 = 0 - (-13.6) = 13.6 \text{ eV}$$

(5) $n = 4$ の状態から放出される光の種類数：

$n = 4$ の状態にある電子が下の準位に遷移するとき、途中で多段階の遷移も可能。放出可能な光の種類は、4つの準位から2つを選ぶ組合せ数に等しい：

$${}_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = 6 \text{ 通り}$$

具体的には $4 \to 3$, $4 \to 2$, $4 \to 1$, $3 \to 2$, $3 \to 1$, $2 \to 1$ の6種類。

補足：リュードベリの公式

$$\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n'^2} - \frac{1}{n^2}\right)$$

ここで $R = 1.10 \times 10^7$ m$^{-1}$（リュードベリ定数）。$n' = 1$: ライマン系列、$n' = 2$: バルマー系列、$n' = 3$: パッシェン系列。