原子番号Zの水素様原子のボーアモデル

(1) 運動方程式（向心力＝クーロン力）：

$$k_0 \frac{Ze^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$$

量子条件 $mvr = n\hbar = nh/(2\pi)$ とあわせて、$r$ について解くと

$$r_n = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 k_0 Z m e^2} = \frac{a_0 n^2}{Z}$$

ここで $a_0 = 5.29 \times 10^{-11}$ m（水素のボーア半径）

(2) エネルギー：

運動エネルギーは $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{k_0 Ze^2}{2r}$

位置エネルギーは $U = -\frac{k_0 Ze^2}{r} = -2K$

全エネルギーは

$$E_n = K + U = -K = -\frac{k_0 Ze^2}{2r_n} = -\frac{13.6 Z^2}{n^2} \text{ eV}$$

(3) He$^+$（$Z = 2$）の場合の数値計算：

$n = 1$ の半径：

$$r_1 = \frac{a_0 \times 1}{2} = \frac{5.29 \times 10^{-11}}{2} = 2.65 \times 10^{-11} \text{ m}$$

$n = 1$ のエネルギー：

$$E_1 = -\frac{13.6 \times 2^2}{1^2} = -13.6 \times 4 = -54.4 \text{ eV}$$

補足：水素様イオンの具体例

He$^+$（$Z=2$）、Li$^{2+}$（$Z=3$）などは電子1個の水素様イオン。ボーアモデルが正確に適用できます。