質量分析器における荷電粒子の運動

磁場中の荷電粒子の円運動：

ローレンツ力が向心力となる条件：

$$qvB = \frac{mv^2}{r}$$

$r$ について解くと

$$r = \frac{mv}{qB}$$

(1) 同じ速度で入射した場合の質量比：

$v, q, B$ が同じなら $r \propto m$ なので

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{r_1}{r_2}$$

(2) 電圧 $V$ で加速した場合：

$qV = \frac{1}{2}mv^2$ より $v = \sqrt{2qV/m}$。$r = mv/(qB)$ に代入すると

$$r = \frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$$

検出面上での距離（直径）は $d = 2r$ です。$r \propto \sqrt{m}$ なので質量が大きいほど遠くに到達します。

(3) 同位元素の性質の比較：

同位元素は化学的性質が同じ（電子配置が同じため）だが、質量が異なるため質量分析器で分離できます。

補足：速度選別器（速度フィルター）

電場 $E$ と磁場 $B$ を直交させると、$qE = qvB$ より $v = E/B$ の粒子だけが直進します。これを質量分析器の前段に置くことで、同じ速度の粒子だけを入射させます。

質量分析器の具体計算

加速電圧 $V = 1.0 \times 10^3$ V で ${}^{12}$C⁺ イオン（質量 $m = 12 \times 1.66\times10^{-27}$ kg $= 1.99\times10^{-26}$ kg, 電荷 $q = e$）を加速したときの速さは

$$v = \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.6\times10^{-19} \times 1.0\times10^3}{1.99\times10^{-26}}} \fallingdotseq 1.27 \times 10^5 \text{ m/s}$$

磁束密度 $B = 0.10$ T 中の円運動半径は

$$r = \frac{mv}{qB} = \frac{1.99\times10^{-26} \times 1.27\times10^5}{1.6\times10^{-19} \times 0.10} \fallingdotseq 0.158 \text{ m}$$

${}^{13}$C⁺ は質量比 $13/12$ だけ重いので

$$r_{13} = r_{12} \times \sqrt{\frac{13}{12}} \fallingdotseq 0.164 \text{ m}$$

半径の差 $\Delta r \fallingdotseq 6$ mm で同位体が分離できます。