基本問題504 放射性崩壊

α崩壊・β崩壊における保存則

直感的理解
放射性崩壊では質量数 $A$ と原子番号 $Z$（= 電荷数）が保存します。α崩壊では He 核が飛び出すので $A$ が4減り $Z$ が2減ります。β崩壊では中性子が陽子に変わるので $Z$ が1増え、$A$ は不変です。

ポロニウムの崩壊系列（問題文に基づく）：

α崩壊：

β崩壊：

例：${}^{210}_{84}$Po の崩壊系列

${}^{210}_{84}\text{Po} \xrightarrow{\alpha} {}^{206}_{82}\text{Pb}$

この崩壊で原子番号は $84 - 2 = 82$（鉛）、質量数は $210 - 4 = 206$ になります。

崩壊回数の決定：

${}^{238}_{92}\text{U}$ → ${}^{206}_{82}\text{Pb}$ の崩壊では：

崩壊回数の計算手順：

$$\alpha\text{崩壊回数} = \frac{\Delta A}{4} = \frac{238 - 206}{4} = \frac{32}{4} = 8\text{回}$$ $$\Delta Z_\alpha = 8 \times 2 = 16, \quad \Delta Z_\text{実際} = 92 - 82 = 10$$ $$\beta\text{崩壊回数} = \Delta Z_\alpha - \Delta Z_\text{実際} = 16 - 10 = 6\text{回}$$
答え：
α崩壊：$A \to A-4$, $Z \to Z-2$
β崩壊：$A$ 不変, $Z \to Z+1$
${}^{238}$U → ${}^{206}$Pb：α崩壊8回、β崩壊6回
補足：質量欠損とエネルギー

原子核の質量は構成する陽子・中性子の質量の和よりわずかに小さい（質量欠損 $\Delta m$）。この差が結合エネルギーとして放出されます。

$$E_B = \Delta m \cdot c^2$$

崩壊回数と質量欠損の具体計算

${}^{238}_{92}\text{U}$ が ${}^{206}_{82}\text{Pb}$ に崩壊する過程を考えます。質量数の変化からα崩壊回数は

$$n_\alpha = \frac{238 - 206}{4} = \frac{32}{4} = 8 \text{ 回}$$

原子番号の変化は $\Delta Z = 92 - 82 = 10$。α崩壊で $-2 \times 8 = -16$、β崩壊で $+1 \times n_\beta$ なので

$$-16 + n_\beta = -10 \quad \Rightarrow \quad n_\beta = 6 \text{ 回}$$

1回のα崩壊で放出されるエネルギー（質量欠損 $\Delta m \fallingdotseq 5.4 \times 10^{-30}$ kg）は

$$Q = \Delta m \cdot c^2 = 5.4 \times 10^{-30} \times (3.0\times10^8)^2 \fallingdotseq 4.9 \times 10^{-13} \text{ J} \fallingdotseq 3.0 \text{ MeV}$$
Point

崩壊回数の求め方：まず質量数の変化からα崩壊回数 $= \Delta A / 4$ を求め、次に原子番号の帳尻合わせからβ崩壊回数を決める。