基本問題505 半減期

半減期と放射性崩壊のグラフ

直感的理解
半減期 $T$ とは、放射性原子核の数が半分になるまでの時間です。$t = T$ ごとに $1/2$ 倍になるので、$t = nT$ 後には $(1/2)^n$ 倍に減ります。このグラフは指数関数的減衰を示し、どんなに時間が経っても完全にはゼロになりません。

放射性崩壊の法則：

$$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$$

(1) 崩壊率（単位時間あたりの崩壊数）：

崩壊率は $\lambda N$（$\lambda = \ln 2 / T$）に比例するので、$N$ と同じ減衰をします。$t = T = 8$ 日後の崩壊率は初期の $1/2$ 倍。

(2) $n$ 日後の残存量：半減期 $T = 8$ 日の場合

$$t = 8 \text{ 日}：\quad N/N_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^{8/8} = \frac{1}{2}$$ $$t = 16 \text{ 日}：\quad N/N_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^{16/8} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$ $$t = 24 \text{ 日}：\quad N/N_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^{24/8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

(3) 残量が $1/8$ になるのは何日後か：

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{t}{T} = 3 \quad \Rightarrow \quad t = 3T = 24 \text{ 日}$$
答え：
(1) 8日目の崩壊率は初期の $1/2$ 倍
(2) 16日後に $1/4$、24日後に $1/8$
(3) $1/8$ になるのは24日後（$3T$）
補足：光子のエネルギーと波長の関係

光子のエネルギーは $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$ です。波長が短い（振動数が大きい）ほどエネルギーが大きくなります。

半減期の具体計算

半減期 $T = 5.0$ 日の放射性同位体の初期原子数を $N_0 = 1.0 \times 10^{20}$ 個とします。$t = 20$ 日後の残量は

$$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} = 1.0\times10^{20} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{20/5} = 1.0\times10^{20} \times \frac{1}{16}$$ $$N \fallingdotseq 6.25 \times 10^{18} \text{ 個}$$

$t = 15$ 日後の残量は

$$N = 1.0\times10^{20} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 1.25 \times 10^{19} \text{ 個}$$

崩壊率（アクティビティ）は $A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T}N$ なので初期値は

$$A_0 = \frac{0.693}{5.0 \times 86400} \times 1.0\times10^{20} \fallingdotseq 1.6 \times 10^{14} \text{ Bq}$$
Point

半減期の公式：$N = N_0 (1/2)^{t/T}$。残量が $(1/2)^n$ になるのは $t = nT$ 後。崩壊率も同じ割合で減少する。