直感的理解

大気中の ${}^{14}$C は宇宙線によって一定量が生成され、生物は生きている間は大気と同じ割合の ${}^{14}$C を含みます。死後は ${}^{14}$C の補充が止まり、半減期 5730 年で減衰していきます。残っている ${}^{14}$C の割合から年代がわかります。

${}^{14}$C 年代測定の原理：${}^{14}$C はβ崩壊により ${}^{14}$N に変わります：

$${}^{14}_{\ 6}\text{C} \to {}^{14}_{\ 7}\text{N} + e^{-} + \bar{\nu}_e$$

放射性崩壊の法則より、時刻 $t$ における ${}^{14}$C の数は：

$$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$$

ここで $T = 5730$ 年（半減期）、$N_0$ は初期の ${}^{14}$C の数です。

現在の放射能が初期の $1/n$ のとき：$N/N_0 = 1/n$ を上式に代入すると

$$\frac{1}{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} \quad \Rightarrow \quad n = 2^{t/T}$$

両辺の対数を取って $t$ について解くと：

$$t = T \log_2 n = T \cdot \frac{\ln n}{\ln 2}$$

計算例：放射能が初期の $1/4$ の場合（$n = 4$）：

$$t = 5730 \times \log_2 4 = 5730 \times 2 = 11460 \text{ 年}$$

答え：
$$t = T \log_2 n \quad (T = 5730 \text{ 年})$$

放射能が $1/n$ のとき、試料は $t = T \log_2 n$ 年前のもの

補足：自然対数を使った計算

$$N = N_0 e^{-\lambda t}, \quad \lambda = \frac{\ln 2}{T}$$

半減期との関係：$\lambda T = \ln 2 \fallingdotseq 0.693$

任意の割合 $f = N/N_0$ に対して $t = -\ln f / \lambda = -T \ln f / \ln 2$

Point

年代測定：$t = T \log_2 (N_0/N)$。${}^{14}$C の半減期は 5730 年。生きている間は ${}^{14}$C 割合一定、死後に減衰開始。

基本問題506 １４Ｃと年代測定