基本問題507 放射性崩壊と半減期

α崩壊を繰り返す系列と半減期の計算

直感的理解
半減期の問題では、残量が $(1/2)^n$ の形でないとき対数を使います。「12日後に $1/8$ になった」なら $t/T = 3$ で $T = 4$ 日、のように $2$ のべきに帰着させるのがコツです。

半減期の基本公式：

$$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$$

(1) グラフから半減期を読み取る：

$N$ が $N_0/2$ になる時刻を読み取れば、それが半減期 $T$ です。

(2) $t$ 日後の残存割合の計算：

$T = 32$ 日のとき、$t = 12$ 日後の残存割合：

$$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{12/32} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3/8}$$

対数を使って計算すると

$$\log_{10}\frac{N}{N_0} = \frac{3}{8} \times \log_{10}\frac{1}{2} = \frac{3}{8} \times (-0.301) = -0.113$$ $$\frac{N}{N_0} = 10^{-0.113} \fallingdotseq 0.77$$

(3) $N/N_0 = 1/3$ になるまでの時間：

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{t}{T} \times \log_{10}\frac{1}{2} = \log_{10}\frac{1}{3}$$ $$\frac{t}{T} = \frac{\log_{10}3}{\log_{10}2} = \frac{0.477}{0.301} = 1.585$$ $$t = 1.585 \times 32 = 50.7 \text{ 日}$$
答え：
(1) グラフから $T$ を読み取る（$N = N_0/2$ となる時刻）
(2) $N/N_0 = (1/2)^{t/T}$ で計算
(3) この放射性物質が存在する量は半減期ごとに半分になり続ける
補足：質量欠損とエネルギー

原子核の質量は構成する陽子・中性子の質量の和よりわずかに小さい（質量欠損 $\Delta m$）。この差が結合エネルギーとして放出されます。

$$E_B = \Delta m \cdot c^2$$
Point

半減期が整数倍でないときは対数を使う。$\log_{10} 2 = 0.301$ は頻出。$t/T$ が整数なら $(1/2)^n$ で簡単に計算可能。