基本問題508 結合エネルギー

質量欠損と結合エネルギー

直感的理解
原子核の質量は、それを構成する陽子と中性子の質量の合計よりも小さくなります。この差が質量欠損 $\Delta m$ で、アインシュタインの関係 $E = \Delta m c^2$ によりエネルギーに換算したものが結合エネルギーです。結合エネルギーが大きいほど原子核は安定です。

質量欠損の公式：

$$\Delta m = Zm_p + Nm_n - M$$

ここで $m_p = 1.0073$ u, $m_n = 1.0087$ u, $M$ は原子核の質量。

結合エネルギー：

$$E_B = \Delta m \times 931.5 \text{ MeV}$$

例：${}^4_2$He の結合エネルギー

$Z = 2$, $N = 2$, $M = 4.0026$ u

$$\Delta m = 2 \times 1.0073 + 2 \times 1.0087 - 4.0026$$ $$= 2.0146 + 2.0174 - 4.0026 = 0.0294 \text{ u}$$ $$E_B = 0.0294 \times 931.5 = 27.4 \text{ MeV}$$

核子あたりの結合エネルギー：

$$\frac{E_B}{A} = \frac{27.4}{4} = 6.85 \text{ MeV/核子}$$

鉄（${}^{56}$Fe）付近で最大（約 8.8 MeV/核子）。

答え：
質量欠損 $\Delta m = Zm_p + Nm_n - M$
結合エネルギー $E_B = \Delta m \times 931.5$ MeV
${}^4$He: $E_B \fallingdotseq 27.4$ MeV（核子あたり $\fallingdotseq 6.85$ MeV）
補足：1 u = 931.5 MeV/c² の導出

$1$ u $= 1.6605 \times 10^{-27}$ kg

$E = mc^2 = 1.6605 \times 10^{-27} \times (3.0 \times 10^8)^2 = 1.494 \times 10^{-10}$ J

$= 1.494 \times 10^{-10} / (1.602 \times 10^{-13})$ MeV $= 931.5$ MeV

Point

質量欠損 $\Delta m$ が結合エネルギーの源。$1$ u $= 931.5$ MeV/$c^2$。核子あたりの結合エネルギーが大きいほど安定。Fe 付近が最大。