基本問題509 原子核反応とβ崩壊

原子核反応式の完成とβ崩壊

直感的理解
原子核反応では質量数 $A$ と原子番号 $Z$ が両辺で保存します。β$^-$崩壊は中性子→陽子＋電子＋反ニュートリノ（$Z$ が1増加）、β$^+$崩壊は陽子→中性子＋陽電子＋ニュートリノ（$Z$ が1減少）です。

(1) β$^-$崩壊：

中性子が陽子に変換：$n \to p + e^- + \bar{\nu}_e$

(2) 原子核反応の例（ラザフォードの実験）：

保存則の確認：

(3) 未知核の決定：

反応式中の未知の核種 ${}^{A'}_{Z'}X$ は保存則から決まります。

答え：
β$^-$崩壊：$Z \to Z+1$、$A$ 不変（中性子→陽子）
核反応の保存則：$A$ と $Z$ が両辺で等しい
ラザフォードの実験：${}^{14}$N $+$ α $\to$ ${}^{17}$O $+$ p
補足：β崩壊とニュートリノ

β崩壊で放出される電子のエネルギーが連続スペクトルになることから、パウリがニュートリノの存在を予言しました。ニュートリノはエネルギーと運動量の保存則を満たすために必要な粒子です。

核反応の具体例

${}^{14}_{7}\text{N}$ がα粒子を吸収して酸素を生成する反応を考えます：

$${}^{14}_{7}\text{N} + {}^{4}_{2}\text{He} \to {}^{17}_{8}\text{O} + {}^{1}_{1}\text{H}$$

質量数の和：$14 + 4 = 18 = 17 + 1$ で一致。原子番号の和：$7 + 2 = 9 = 8 + 1$ で一致。一方、${}^{14}$C のβ崩壊は

$${}^{14}_{6}\text{C} \to {}^{14}_{7}\text{N} + e^- + \bar{\nu}_e$$

この崩壊のエネルギーは $Q = \Delta m \cdot c^2 \fallingdotseq 0.156$ MeV で、半減期は $T = 5730$ 年。${}^{14}$C の存在率から年代測定ができます。核反応ではニュートリノを含めた保存則が成り立ちます。

数値まとめ：${}^{14}$C のβ崩壊のQ値 0.156 MeV = 2.5 × 10-14 J、半減期 5730 年 = 1.8 × 1011 s。崩壊定数 $\lambda = \ln 2 / T \fallingdotseq 3.8 \times 10^{-12}$ /s。核反応の生成粒子の運動エネルギーは 1.0 MeV = 1.6 × 10-13 J のオーダーです。

$$Q = \Delta m \cdot c^2, \quad T_{1/2} = 5730 \text{ 年}, \quad \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$
Point

核反応式を完成させるには、質量数 $A$ と原子番号 $Z$ の保存を使う。β崩壊ではニュートリノ（反ニュートリノ）も放出される。