α崩壊の運動エネルギーとQ値

エネルギー保存則（Q値）：

$$Q = (M_\text{親} - M_\text{娘} - m_\alpha)c^2 = K_\alpha + K_\text{娘}$$

運動量保存則：親核が静止していたので

$$0 = p_\alpha + p_\text{娘} \quad \Rightarrow \quad |p_\alpha| = |p_\text{娘}| = p$$

運動エネルギーの配分：$K = p^2/(2m)$ より

$$\frac{K_\alpha}{K_\text{娘}} = \frac{p^2/(2m_\alpha)}{p^2/(2M_\text{娘})} = \frac{M_\text{娘}}{m_\alpha}$$

α粒子の取り分は

$$K_\alpha = Q \times \frac{M_\text{娘}}{M_\text{娘} + m_\alpha}$$

具体例：${}^{210}$Po の崩壊

${}^{210}$Po → ${}^{206}$Pb + ${}^4$He で $Q = 5.41$ MeV のとき

$$K_\alpha = 5.41 \times \frac{206}{206 + 4} = 5.41 \times \frac{206}{210} = 5.41 \times 0.981 = 5.31 \text{ MeV}$$ $$K_\text{Pb} = 5.41 - 5.31 = 0.10 \text{ MeV}$$

別解：速度比から求める方法

運動量保存 $M_\text{Pb} v_\text{Pb} = m_\alpha v_\alpha$ より $v_\text{Pb}/v_\alpha = m_\alpha/M_\text{Pb} = 4/206$。

$K_\alpha/K_\text{Pb} = (m_\alpha v_\alpha^2)/(M_\text{Pb} v_\text{Pb}^2) = (m_\alpha/M_\text{Pb})(v_\alpha/v_\text{Pb})^2 = (4/206)(206/4)^2 = 206/4$

α崩壊エネルギーの運動エネルギー分配

${}^{226}_{88}\text{Ra} \to {}^{222}_{86}\text{Rn} + {}^{4}_{2}\text{He}$ のQ値を $Q = 4.87$ MeV とします。運動量保存 $0 = m_\alpha v_\alpha - M_{\text{Rn}} V_{\text{Rn}}$ より

$$\frac{K_\alpha}{K_{\text{Rn}}} = \frac{\frac{1}{2}m_\alpha v_\alpha^2}{\frac{1}{2}M_{\text{Rn}} V_{\text{Rn}}^2} = \frac{M_{\text{Rn}}}{m_\alpha} = \frac{222}{4} = 55.5$$

$K_\alpha + K_{\text{Rn}} = Q$ と合わせて

$$K_\alpha = \frac{M_{\text{Rn}}}{m_\alpha + M_{\text{Rn}}}Q = \frac{222}{226} \times 4.87 \fallingdotseq 4.78 \text{ MeV}$$ $$K_{\text{Rn}} = Q - K_\alpha \fallingdotseq 0.09 \text{ MeV}$$

軽い粒子（α）がほぼ全エネルギーを持ち去ります。

数値まとめ：Q値 4.87 MeV は 7.8 J × 10^-13。α粒子の運動エネルギー Kα = 4.78 MeV = 7.7 J × 10^-13。娘核の反跳運動エネルギーは 0.09 MeV = 1.4 J × 10^-14。α粒子の速さは約 1.5 m/s × 10⁷ です。